Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Kamis, 12 Agustus 2021

 

Sebelum mempelajari pertidaksamaan nilai mutlak, marik kita ingat kembali definisi mengenai nilai mutlak. Nilai mutlak dari x secara aljabar didefinisikan sebagai berikut:

Selain itu, perlu kalian ingat bahwa untuk setiap bilangan x real, berlaku:

x² = | x |

Berdasarkan konsep tersebut, maka dapat kita turunkan teorema mengenai pertidaksamaan nilai mutlak. Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang variabelnya berada di dalam tanda mutlak.

Jika a ∈ R, x ∈ R dan a > 0 maka |x| < a jika dan hanya jika – a < x < a.

Bukti

 

Untuk membuktikan teorema ini, kita perlu membuktikannya menjadi dua arah yaitu:
jika |x| < a maka –a < x < a dan jika –a < x < a maka |x| < a

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak, kalian dapat menggunakan sifat-sifat berikut:

•       Pertidaksamaan |ax +b | < c dimana c > 0 ekuivalen dengan –c < ax + b < c

•       Pertidaksamaan |ax +b | > c dimana c > 0 ekuivalen dengan ax + b < –c atau ax + b > c

•       Bentuk a < |f(x)| < b dimana a > 0 dan b > 0 ekuivalen dengan a < f(x) < b atau –b < f(x) < –a

•       Bentuk |f(x)| > |g(x)| ekuivalen dengan |f(x)|² > |g(x)|² ⟺ [f(x) + g(x)] [f(x) – g(x)] > 0

Pada bentuk pertama tanda < dapat diganti menjadi ≤ dan pada bentuk kedua tanda > dapat diganti menjadi ≥.

Untuk memperdalam pemahaman kalian, mari kita cermati beberapa contoh berikut ini:

Contoh 1 :

 

Menyelesaikan pertidaksamaan dalam bentuk |ax + b| < c

Carilah nilai x yang memenuhi |2x + 5| < 17

 

Penyelesaian:

 

Untuk menyelesaiakan soal di atas, ikutilah langkah-langkah berikut ini :

1.     tuliskan bentuk ketidaksamaannya ⇒ |2x + 5| < 17

2.     tuliskan bentuk ekuivalennya ⇒ –17 < 2x + 5 < 17

3.     kurangkan tiap suku dengan 5 ⇒ –22 < 2x < 12

4.     bagilah tiap suku dengan 2 ⇒ –11 < x < 6

 

Penyelesaian pertidaksamaan di atas dapat digambarkan dengan garis bilangan berikut ini:

Contoh 2:

 

Menyelesaikan pertidaksamaan dalam bentuk |f(x)| > |g(x)|

Carilah nilai x yang memenuhi |2x – 1| > |x + 3|

 

Penyelesaian:

 

1.     tuliskan bentuk ketidaksamaannya ⇒ |2x – 1| > |x + 3|

2.     tuliskan bentuk ekuivalennya ⇒ [(2x – 1) + (x + 3)] [(2x – 1) – (x + 3)] > 0

3.     operasikan nilai yang ada dalam kurung ⇒ [3x + 2] [x – 4] > 0

4.     selesaikan pertidaksamaan ⇒ x < 2/3 atau x > 4

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Pertidaksamaan Nilai Mutlak. Please share...!