Teori
Grup adalah sebuah topik dari matematika yang spesifik membahas tentang
grup. Latar belakang teori grup ini didasari oleh teori persamaan aljabar,
teori bilangan dan Geometri. Beberapa pengagas penelitian dalam
topik ini anatara lain Galois, Gauss, Euler, Lagange dan Abel. Dari ahli ahli
tersebut maka Galois terkenal dengan teori Galois yang
membahas tentang kaitan teori grup dan medan.
Sejarah Perkembangan
Teori Grup
Awal dari teori grup ini berasal dari ulah Evariste
Galois pada tahun 1830. Permasalahan persamaan aljabar terpecahkan dengan
‘aneh’. Sebelmnya Galois sendiri Galois mendalami grup secara konkret dalam
bentuk permutasi. Dalam sekian masalah teori grup ini, teori grup abelian (yang
ditemukan Abel) yang mencakup bentuk bentuk kuadrat. Dalam
teori Galois, yang nota benenya awal dari teori grup dijelaskan bawasanya
dengan penggunaan grup sebuah gambar persamaan maka akan dapat dicari solusinya
dengan persamaan suku banyak.
Makanya dalam hal ini dinamakan teori grup. Sebuah permasalahan pertama cara membuat sebuah persamaan pangkat m dan memiliki akar m sama dengan akar dari persamaan berpangkat n. Dalam hal ini Hudde dan Saunderson memberikan penjelasa bahwasanya faktor pangkat dua dari sebuah pernyataan bikuadratik akan menghasilkan sebuah persamaan sektik. Pernyataan Hudder da Saunderson ini yang selanjutnya di seliediki oleh Le Soeur dan Waring pada tahun 1762 hingga 1782.
Dasar utama dalam persamaan dasar ini adalah permutasi grup yang dikemukanan oleh Lagrange. Berdasarkan hal terebut maka diperoleh rumusan teori subtitusi. Lagrange menemukan seluruh penyelesaian yang dia temukan merupakan akar rasional dari persamaan yang terkait. Dalam mempelajari sifat dari fungsi tersebut maka Lagrange menerbitka Calul des Combinaisons.
Karya dari Vandermonde pada tahun 1770 bepengaruh pada
perkembanga teori selanjutnya. Sementara itu Ruffini berupaya membuktikan untuk
mencari penyelesaian persamaan pangkat lima dan persamaan lain dengan pangkat
yang lebih tinggi. Kembali pada Ruffini, mengkategorikan secara intransitif dan
transitif serta grup imprimitif dan grup primitif. Dengan
memakai grup tersebut dari sebuah persamaan yang disebut l'assieme della permutazioni. Kembali pada teorema
Galois, Galois menemukan r1, r2 hingga rn adalah akar akarn dari sebuah
pesamaan. Maka untuk suatu grup permutasi dari r. Dengan cara subtitusi
diperoleh Setiap akar bersifat invariabel dan rasional. Kontradiktif dengan hal
tersebut, setiap fungsi dapat ditentukan akarnya secara rasional dengan cara
subtitusi memiliki sifat invarian. Di samping itu Galois juga mempopulerkan
teori persamaan modular dan fungsi eliptik.
Pada tahun 1882 von Dyck merumuskan secara modern
tentang definisi suatu grup. Pembahasan tentang grup Lie dan subgrup diskrit
sebagai grup transformasi. Perumusan tersebut telah dimulai oleh Sophus Lie dan
diikuti oleh Schur dan Murer. Selanjutnya teori diskontinu atau grup diskrit
sendiri digagas oleh Felix Klein, Poincare serta Picard. Beberapa ahli lain
juga meneliti hal ini diantaranya Emil Artin, Emmy Noether da Sylow. Cakupan
dalam struktut aljabar abstrak seperti Ring, Medan dan modulus dikelompokkan
dalam pembahasan grup Abelian. Sementara itu James Newman mengungkap teori grup
merupakan sebuah topik matematika dimana sebuah sabjek melakukan sesuatu dan
membandingkan hasilnya dengan perlakuan yang sama dari objek yan berbeda, atau
bisa juga dilakukan sebuah perlakuan yang berbeda pada objek yang sama.
Ilustrasi Teori Grup
Sebuah ilustrasi dari grup
abelian Sebuah grup abelian : bilangan bulat terhadap
penjumlahan, Contoh grup yang pernah diperkenalkan saat di sekolah dasar salah
satunya adalah bilangan bulat terhadap penjumlahan.
Misalkan “’Z”’ merupakan himpunan bilangan
bulat, {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} dan simbol “+” sebagai operasi
penjumlahan. Dengan demikian, (“’Z”’,+) merupakan suatu grup. Bukti : Ø Bila
“a” dan “b” merupakan bilangan bulat maka “a” + “b” juga merupakan bilangan
bulat. Ø Bila “a”, “ b”, dan “c” adalah bilangan bulat maka (“a” + “b”) + “c” =
“ a” + (“b”+”c”) (sifat asosiatif) Ø 0 adalah bilangan bulat dan untuk setiap
bilangan bulat “a”, 0 +” a” = “a”. (elemen identitas) Ø Bila “a” sebuah
bilangan bulat maka terdapat bilangan bulat “b” = -“a” sedemikian sehingga “a”
+ “b” = “b” +” “a = 0 (elemen invers). Grup ini juga merupakan abelian : “a” +”
b” = “b” + “a”. Bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian membentuk
struktur aljabar cincin yang lebih kompleks. Sebenarnya, elemen dari cincin apa
saja membentuk sebuah grup abelian terhadap penjumlahan yang disebut “grup
penjumlahan” dari cincin.
Sumber
Labels:
Serba-serbi
Thanks for reading Teori Grup. Please share...!
