Integral - 1

Minggu, 10 November 2019

A. Integral Tak Tentu

Integral adalah kebalikan (invers) dari pendiferensialan. Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat.

                        F′ (x) = f(x)

Maka F(x) merupakan himpunan anti-turunan atau himpunan penintegralan F′ (x) = f(x). Himpunan anti turunan fungsi f(x) dinotasikan dengan:

                        ∫ f(x) dx

Dibaca integral f(x) terhadap x, dan disebut integral tak tentu f(x). Integral tak tentu f(x) adalah suatu fungsi umum yang ditentukan melalui hubungan.

                        ∫ f(x) dx = F(x) + C

            Dengan            f(x)  dinamakan integral

                                    F(x) dinamakan fungsi integral umum

                                    c      dinamakan konstanta pengintegralan

Sifat-sifat Integral Tak Tentu

Andaikan f(x) dan g(x) mempunyai anti-turunan (integral tan tentu) dan andaikan k suatu konstanta, maka:

            1.  ∫ f(x) dx = k ∫ f(x) dx

            2.  ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

            3.  ∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx − ∫ g(x) dx

Aturan Integral Tak Tentu dari Fungsi Aljabar

Misalkan a konstanta real sembarang, maka:

1.      ∫ dx = x + c

2.      ∫ a dx = ax + c

3.      ∫ xⁿ dx = (1/n+1) xⁿ⁺¹ + c, dengan n bilangan rasional dan n ≠ −1

4.      ∫ axⁿ dx = (a/n+1) xⁿ⁺¹ + c, dengan n bilangan rasional dan n ≠ −1

Aturan Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

1.      ∫ cos x dx = sin x + c

2.      ∫ sin x dx = – cos x + c

3.      ∫ sec² x dx = tan x + c

4.      ∫ cosec² x dx = – cot x + c

5.      ∫ tan x . sec x dx = sec x + c

6.      ∫ cot x . cosec x dx = – cosec x + c

7.      ∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c

8.      ∫ sin (ax + b) dx = – 1/a cos (ax + b) + c

9.      ∫ sec² (ax + b) dx = – 1/a tan (ax + b) + c

10.  ∫ cosec² (ax + b) dx = –1/a cot (ax + b) + c

11.  ∫ tan (ax + b) . sec (ax + b) dx = 1/a sec (ax + b) + c

12.  ∫ cot (ax + b) . cosec (ax + b) dx = – 1/a cosec (ax + b) + c

B. Menentukan Fungsi F(x), Jika F′ (x) dan F(a) Diketahui

Misalkan turunan dari fungsi F(x) adalah F′ (x) = f(x) telah diketahui, maka fungsi F(x) dapat ditentukan melalui hubungan.

                        F(x) = ∫ F′ (x) dx

Hasil dari ∫ F(x) dx memuat konstanta penintegralan c, sehingga F(x) merupakan fungsi-fungsi dengan c yang berbeda-beda. Selanjutnya jika nilai dari fungsi F(x) untuk x = a, F(a), diketahui, maka konstanta penintegralan c mempunyai nilai tertentu. Dengan demikian akan dipoleh sebuah anggota himpunan fungsi F(x).

C. Integral Tertentu

Integral tertentu dinotasikan dengan:

                         

     Dengan       f(x) adalah integran dimana f(x) = F′ (x)

                        a,b adalah batas-batas pengintegralan

                        [a,b] dinamakan interval pengintegralan.

Sifat-sifat Integral Tertentu

Andaikan f(x) dan g(x) masing-masing adalah fungsi-fungsi kontinyu dan terdefinisi dalam [a,b] dan andaikan k konstanta, maka:

D. Penintegralan Dengan Metode Substitusi

1. Metode Substitusi dalam Integral Tak Tentu

Apabila suatu integral sudah dalam bentuk baku, maka kita dapat langsung menyelesaikannya dengan menggunakan rumus-rumus dasar integral. Tetapi apabila tidak, maka bentuk integral tersebut diubah terlebih dahulu sedemikian sehingga menjadi bentuk baku. Pengubahan bentuk integral itu dilakukan dengan mensubstitusikan variabel baku.

Metode substitusi yang dimaksud adalah sebagai berikut.

Andaikan g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan andaikan F adalah suatu anti-turunan dari f. Sehingga, jika u = g(x), maka ∫ f(g(x))  g′ (x) dx = ∫ f(u) . dx = F(u) + c  

Langkah teknik pengintegralan dengan metode substitusi adalah sebagai berikut.

            1. Memilih fungsi u = g(x) sehingga

                        ∫ f(g(x))  g′ (x) dx = f(u) du

            2. Tentukan ∫ f(u) du

Berikut ini adalah beberapa bentuk integral (bentuk baku) yang perlu diketahui dalam pengintegralan dengan metode substitusi.

1. ∫ k du = ku + c
2. ∫ uⁿ du = 1/(n + 1) u^{n + 1} + c, dengan n ≠ −1
3. ∫ 1/n du = l n ∣u∣ + c
4. ∫ e^u du = e^u + c
5. ∫ a^u du = a^u/(lna) + c, dengan a ≠ 1, a > 0
6. ∫ sin u du = – cos u + c
7. ∫ cos u du = sin u + c
8. ∫ sec² u du = tan u + c
9. ∫ cosec² u du = – cot u + c
10. ∫ sec u . tan u du = sec u + c
11. ∫ cot u . cosec u du = – cosec u + c
12. ∫ tan u du = – ln ∣cos∣ + c
13. ∫ cot u du = ln ∣sin∣ + c

2. Metode Substitusi dalam Integral Tertentu

Metode substitusi dalam tertentu integral tertentu sama seperti pada integral tak tentu, hanya saja kita tidak boleh lupa untuk mengubah batas-batas pengintegralannya.

Metode substitusi dalam integral tertentu adalah sebagai berikut.

Andaikan g mempunyai turunan kontinu pada [a, b] dan andaikan f kontinu pada daerah nilai dari g maka,

                       

Langsung pengintegralan tertentu dengan metode substitusi adalah sebagai berikut.

1.  Memilih fungsi u = g(x) sehingga ∫ f(g(x)) g′ (x) dx menjadi  ∫ f(u) du

2.  Ubah batas-batas pengintegralan

      a. menjadi g(x)

            dan

      b. menjadi g(b)

      Sehingga

3.  Selesaikan 

E. Pengintegralan Dengan Metode Parsial

Apabila pengintegralan dengan metode substitusi tidak berhasil, kita dapat menggunakan teknik pengintegralan lain yang dikenal dengan metode parsial.

Andaikan u = u(x) dan v = v(x).

Misalkan f(x) = u(x) . v(x)

Berdasarkan aturan turunan diperoleh:

                        f ′ (x) = u(x) . v′ (x) + v(x) . u′ (x)

            ⇔        df (x)/dx = u . dv/dx + v . du/dx

            ⇔        d. (u . v) = u . dv + v . du

Dengan mengintegralkan kedua ruas, diperoleh

            ∫ d (yv) = ∫ u . dv + ∫ v . du

            ⇔        uv = ∫ u . dv + ∫ v . du

            ⇔        ∫ u . dv = uv – ∫ v . du

Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu

                        ∫ u . dv = uv – ∫ v . du

Pengintegral Parsial Integral Tertentu

                  

Ada dua hal yang perlu diperhatikan dalam menggunakan metode parsial, yaitu:

1.  Pemilihan dv harus dapat diitegralkan untuk memperoleh v, yaitu v = ∫ dv

2.  ∫ u du harus lebih mudah diselesaikan dari pada ∫ u dv.

F. Metode Substitisi Dalam Ingral Bentuk Trigonometri

1. Bentuk ∫ sinⁿ x dx dan ∫ cosⁿ x dx

·         Apabila n bilangan bulat ganjil dan positif, setelah mengelurkan faktor sin x atau cos x, gunakan kesamaan:

sin² x + cos² x = 1

·         Apabila n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengah sudut berikut.

sin² x = (1 – cos 2x) / 2 dan cos² x = (1 + cos 2x)/2

2. Bentuk ∫ sin^m cosⁿ x dx

·         Apabila m dan n genap positif, keluarkan faktor sin x atau cos x kemudian gunakan kesamaan

sin² x + cos² x = 1

·         Apabila m dan n genap positif, gunakan rumus setengah sudut.

3. Bentuk ∫ tanⁿ x dx dan ∫ cotⁿ x dx

·         Dalam kasus ∫ tanⁿ x dx, keluarkan faktor tan² x = sec² x – 1

·         Dalam kasus ∫ cosⁿ x dx, keluarkan faktor cot² x = cosec² x – 1

4. Bentuk ∫ sin mx . cos nx dx, ∫ sin mx . sin nx dx dan ∫ cos . mx . cos nx dx

Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk tersebut, gunakan kesamaan berikut:

            sin mx . cos nx =  ½ [sin (m + n)x + sin (m – n)x]

            sin mx . sin nx = − ½ [cos (m + n)x − cos (m – n)x]

            cos mx . cos nx = ½ [cos (m + n)x + cos (m – n)x]

5. Penggunakan Integral Tertentu untuk Menghituan Luas Daerah

1. Luas Daerah yang dibatasi Kurva dan Sumbu X

Perhitikanlan gambar berikut ini.

Pada gambar (a), kurva y = f(x) merupakan fungsi kontinu dan tak negatif (f(x) ≥ 0) dalam integral tertutup a ≤ x ≤ b. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a dan garis x = b pada gambar adalah daerah A 1.

Luas daerah A₁ ditentukan oleh:

                         

Pada gambar (b), kurva y = f(x) merupakan fungsi kontinu dan tak positif (f(x) ≤ 0) dalam interval tertutup a ≤ x ≤ b. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a dan garis x = b pada gambar adalah daerah A₂.

Luas daerah A₂ ditentukan oleh:

                       

2. Luas Daerah yang dibatasi Dua Kurva

Perhatikan gambar berikut ini.

Pada gambar di sambing, kurva y = f(x) dan y = g(x) merupakan kurva-kurva yang kontinu dalam interval tertutup a ≤ x ≤ b dengan f(x) ≥ g(x). Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a dan garis x = b ditunjukkan oleh bagian oleh bagian yang dirsir.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a, dan garis x = b, dengan f(x) ≥ g(x) pada interval a ≤ x ≤ b ditentukan oleh:

                       

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menentukan luas daerah antara dua kurva adalah sebagai berikut.

1.      Untuk merumuskan dan menghitung luas daerah antara dua kurva perlu dilukiskan terlebih dahulu sketsa grafik kedua kurva tersebut dalam bidang Cartesius.

2.      Batas-batas pengintegralan x = a dan atau x = b perlu ditentukan terlebih dahulu. Nilai x = a dan atau x = b dapat diperoleh dari absis titik potong kedua kurva.

G. Penggunaan Integral Tertentu Untuk Menghitung Volum Benda Putar

1.      Volum Benda Putar dari Daerah yang Mengelilingi Sumbu X

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b diputar sejauh 360ᵒ mengelilingi sumbu x, maka volum atau isi benda putar yang terjadi ditentukan oleh:

                 

2.      Volum Benda Putar dari Daerah yang mengelilingi Sumbu Y

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = g(y), sumbu Y, garis y = c, dan garis y = d diputar sejauh 360ᵒ mengelilingi sumbu Y, maka volum benda putar yang terjadi ditentukan oleh:

                 

3.      Volum Benda Putar dari Daerah Antara Dua Kurva yang Diputar Mengelilingi Sumbu X

Daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y₁ = f(x), kurva y₂ = g(x), garis x = a dan garis x = b.

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y₁ = f(x), kurva y₂ = g(x), garis x = a, garis x = b diputar sejauh 360ᵒ mengililngi sumbu X, maka volum atau isi benda putar terjadi ditentukan oleh rumus:

                 

4.      Volum Benda Putar dari Daerah Antara Dua Kirva yang Diputar Mengelilingi Sumbu Y

Daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah daerah yang dibatasi oleh kurva x₁ = f(y), kurva x₂ = g(y), garis y = c, dan garis y = d.

Jika daerah yang oleh kurva y₁ = f(x), kurva y₂ = g(x), garis x = a, garis x = b diputar sejauh 360ᵒ mengelilingi sumbu X, maka volum atau isi benda yang terjadi ditentukan oleh rumus.

  

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Integral - 1. Please share...!