A. Pengertian Turunan
Laju perubahan nilai fungsi f : x ⟶ f(x) pada dapat ditulis:
Turunan fungsi f(x) untuk tiap nilai x
ditentukan dengan rumus:
Dengan f’(x) dibaca (f aksen x) disetut turunan dari f(x) terhadap
x.
Notasi turunan dari f(x) dapat juga dinyatakan dengan:
Selain notasi di atas, fungsi turunan juga dapat dituliskan dengan
salah satu lambang berikut ini.
Lambang
untuk turunan
diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646 – 1716).
untuk turunan
diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646 – 1716).
B. Turunan Fungsi Aljabar
Rumus-rumus turunan fungsi aljabar adalah sebagai berikut.
1. Jika f(x) = k maka f ′ (x) = 0
2. Jika f(x) = x maka f ′ (x) = 1
3. Jika f(x) = xn maka f ′ (x)
= n xn – 1
4. Jika f(x) = axn maka f ′ (x)
= an xn – 1
5. Jika f(x) = k u(x) maka f ′ (x)
= k u’(x), k = konstanta
6. Jika f(x) = u(x) ± v(x) maka f ′ (x) = u’ (x) ± v’
(x)
7. Jika f(x) = u(x) . v(x) maka f ′ (x)
= u’ (x) . v(x) + u(x) . v’ (x)
8. Jika f(x) = {u(x)}n maka f ′ (x) = n [u(x)]n – 1 . u’ (x)
C. Turunan Fungsi Trigonometri
Rumus-rumus turunan fungsi trigonometri adalah sebagai berikut.
1. Jika f(x) = sin x maka f ′ (x)
= cos x
2. Jika f(x) = cos x maka f ′ (x)
= − sin x
3. Jika f(x) = tan x maka f ′ (x)
= sec2x = 1 / cos2x
D. Persamaan Garis Singgung Pada Kurva
Suatu titik P(x1, y1) terletak pada kurva y –
f(x), naka persamaan garis melalui titik itu dapat ditentukan dengan rumus:
y – y1
= m (x – x1)
dengan graden m = f ′ (x1)
atau m = (dy / dx) x = x1
Garis yang melalui titik P(x1, y1) dan tegak
lurus terhadap garis singgung kurva di disebut garis normal. Garis
normal juga tegak lurus terhadap kurva y = f(x).
Dengan demikian, persamaan garis normal di titik P(x1, y1)
pada kurva y = f(x) ditentukan dengan rumus:
y – y1
= − 1/m (x – x1)
1. Dua Garis
Sejajar
Misalkan garis
g ≡ y = m1x + n1 sejajar dengan garis h ≡ y = m2x
+ n2 (seperti tampak pada gambar), maka gradien garis g sama dengan
gradien garis h atau mg = ml dan mh = m2,
maka g sejajar h jika:
m1 = m2
2. Dua Garis Tegak Lurus
Misalkan Gris g ≡ y = m1x + n1 tegak
lurus dengan garis h ≡ y = m2x
+ n2 (seperti tampak pada gambar), maka hasil kali gradien garis g
dengan gradien garis h sama dengan – 1 atau mg . mh = −
1. Karena mg = ml dan mh = m2, maka
g tegak lurus h jika:
m1 . m2
= − 1
E. Fungsi Naik
dan Fungsi Turun
Misalkan grafik
suatu fungsi y = f(x) seperti terlihat pada gambar di samping.
Berdasarkan
gambar tersebut dapat dikatakan bahwa:
1.
Fungsi
y = f(x) merupakan fungsi naik untuk nilai-nilai x dalam interval x > a,
sebab dalam interval x > a, untuk nilai xyang semakin besar, maka nilai
fungsi f(x) juga semakin besar.
2.
Fungsi
y = f(x) merupakan fungsi turun untuk nilai-nilai x dalam interval x < a,
sebab dalam interval x < a, untuk nilai x yang semakin besar, maka nilai
fungsi f(x) menjadi semakin kecil.
Definisi
Misalkan fungsi f(x) terdefinisi dalam interval I.
1.
Fungsi
f(x) dikatakan fungsi naik dalam interval I jika untuk setiap bilangan x1
dan x2 dalam I dan x1 < x2, makaberlaku
hubungan f(x1) < f(x2), ditulis:
x1 < x2 ⇒
f(x1) < f(x2)
2.
Fungsi
f(x) dikatakan fungsi turun dalam interval I jika untuk setiap bilangan x1
dan x2 dalam I dan x1 < x2, maka berlaku
hubungan f(x1) > f(x2), ditulis:
x1 < x2 ⇒
f(x1) > f(x2)
Misalkan
fungsi f kontinu dalam interval I dan diferensiabel di setiap titik dalam
interval tersebut.
1.
Jika f ′ (x) > 0
untuk x ∈
I, maka fungsi f(x) naik pada I.
2.
Jika f ′ (x) < 0
untuk x ∈
I, maka fungsi f(x) turun pada I.
1.
Jika f ′ (x) = 0 untuk
x ∈
I, maka fungsi f(x) stationer pada I.
F.
Titik Stasioner dan Jenis-jenis Nilai Stasuoner
Jika
fungsi y = f(x) diferensiabel di x = a dengan f ′ (a) = 0, maka f(a) adalah nilai stasioner
dari fungsi f(x) di x = a.
Perhatikan
gambar di samping!
Dari gambar di
samping, dapat diketahui bahwa:
1.
Nilai x yang menyebabkan
f(x) mempunyai nilai stasioner dapat ditentukan dari syarat f ′ (x) = 0
2.
Titik (a, f(a)) yang terletak pada grafik y =
f(x) disebut sebagai titik stasioner.
3.
Nilai stasioner sering disebut nilai kritis dan
titik stasioner sering disebut titik kritis.
Terdapat
3 Jenis nilai stasioner, yaitu:
1.
Nilai
Balik Maksimum
Fungsi
y = f(x) mencapai nilai balik maksimum pada x = a atau f(a) merupakan nilai
balik maksimum jika f ′ (a) = 0 dan f ′′ (a) < 0
2.
Nilai
Balik Minimum
Fungsi
y = f(x) mencapai nilai balik minimum pada x = a atau f(a) merupakan nilai
balik minimum jika f ′ (a⁻)
< 0 , f ′
(a) = 0, dan f ′ (a⁺) > 0 atau
jika f ′ (a) = 0 dan f
′′ (a) > 0
3.
Titik
Belok
Fungsi
y = f(x) mempunyai titik belok pada x = a atau f(a) merupakan titik belok, jika
f ′ (a⁻) < 0, f ′ (a) < 0, f ′ (a⁺) < 0 atau f ′ (a⁻)
> 0, f ′ (a) = 0, f ′ (a⁺)
> 0 jika f ′
(a) = 0 dan f ′′ (a) = 0.
Skema grafik
fungsi dengan nilai balik maksimum seperti terlihat pada gambar di samping.
x
|
a⁻
|
a
|
a⁺
|
f ′ (x)
|
+
|
0
|
−
|
Skema
grafik fungsi dengan nilai balik minimum seperti gambar di samping.
x
|
a⁻
|
a
|
a⁺
|
f ′ (x)
|
+
|
0
|
−
|
Skema
grafik fungsi dengan titik belik adalah sebagai berikut.
x
|
a⁻
|
a
|
a⁺
|
f ′ (x)
|
−
|
0
|
−
|
x
|
a⁻
|
a
|
a⁺
|
f ′ (x)
|
+
|
0
|
+
|
Sumber
Labels:
Matematika
Thanks for reading Diferensial - 1. Please share...!
