Operasi pada Vektor

Minggu, 27 Agustus 2023

B. 1. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

 

Perhatikan titik-titik A(a₁, a₂), B(b₁, b₂), dan C(c₁, c₂) pada koordinat Cartesius berikut ini!

Pada gambar tersebut, vektor a, b, dan c dapat kalian tulis sebagai berikut.

·       a (b₁ – a₁, b₂ – a₂).
Dapat pula ditulis, 

·       b (c₁ – b₁, c₂ – b₂).
Dapat pula ditulis, 

·       c (c₁ – a₁, c₂ – a₂).
Dapat pula ditulis, 

 

Sekarang, jumlahkanlah vektor a dan b. Karena vektor merupakan matriks kolom, maka kalian dapat menjumlahkan vektor a dan b dengan menggunakan aturan penjumlahan matriks. Dengan aturan ini, akan diperoleh:

Perhatikan bahwa .

Uraian tersebut menunjukkan bahwa a + b = c. Secara geometris, penjumlahan antara vektor a dan b ini dapat kalian lakukan dengan dua cara, yaitu:

a.    Cara segitiga
Dalam cara ini, titik pangkal vektor b berimpit ruas dengan titik ujung vektor a. Jumlah vektor a dan b didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b. Ruas garis ini diwakili oleh vektor c. Akibatnya, a + b = c..

b.    Cara jajargenjang

 

Misalkan, vektor a mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B dan vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal C ke titik D. Dalam cara jajargenjang, titik pangkal vektor a berimpit dengan titik pangkal vektor b, yaitu A = C.
Dengan membuat jajargenjang ABED, akan diperoleh:

Oleh karena , maka a + b = c.
Sekarang, jika vektor a dijumlahkan dengan invers vektor b, maka kalian mendapatkan penjumlahan vektor a + (–b) sebagai berikut.

Seperti pada bilangan real, kalian dapat menuliskan a + (–b) = a – b.
Secara geometris, kalian dapat mengurangkan a dengan b sebagai berikut.

Dengan menggunakan aturan penjumlahan dan pengurangan matriks kolom, kalian dapat menyatakan aturan penjumlahan dan pengurangan vektor sebagai berikut.

·       Untuk a dan b vektor-vektor di R³, berlaku:

Dengan menggunakan pasangan terurut, dapat dituliskan:

a + b = (a₁, a₂) + (b₁, b₂) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)

a – b = (a₁, a₂) – (b₁, b₂) = (a₁ – b₁, a₂ – b₂)

 

·       Untuk a dan b vektor-vektor di R³, berlaku:

 

Dengan menggunakan pasangan terurut, dapat dituliskan
a + b = (a₁, a₂, a₃) + (b₁, b₂, b₃) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)
a – b (a₁, a₂, a₃) – (b₁, b₂, b₃) = (a₁ – b₁, a₂ – b₂, a₃ – b₃)

 

Perhatikan gambar berikut!
Dari gambar di samping, kalian dapat menyatakan:

·       b + c = a

·       d + e = c

·       b + d + e = a

Contoh

Diketahui vektor-vektor a = (0, –2, –1), b = (2, 3, 4), dan c = (–3, 0, 3), tentukan:

Alternatif Pembahasan:

 

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Operasi pada Vektor. Please share...!