Pengertian Vektor

Sabtu, 26 Agustus 2023

 

Untuk memahami tentang vektor, lakukanlah kegiatan berikut.

Aktivitas di Kelas

1.  Gambarlah sebuah ruas garis pada selembar kertas!

2.  Berilah tanda panah pada ujung ruas garis tersebut ini!

3.  Sebut titik pangkal ruas garis sebagai titik P dan titik ujungnya sebagai titik Q.

4.  Ukurlah panjang ruas garis dengan menggunakan penggaris!

5.  Diskusikan dengan teman sebangkumu!

6.  Apa yang dapat disimpulkan dari aktivitas ini? Kemukakan hasil kegiatan ini di depan kelas!

Ruas garis berarah yang kalian gambar pada kegiatan ini mewakili sebuah vektor. Panjang garis yang diukur menggunakan penggaris menunjukkan panjang vektor tersebut. Karena titik pangkal P dan titik ujung Q, maka vektor disebut sebagai vektor . Panjang vektor  ini
dilambangkan dengan .
Selain cara di atas, sebuah vektor dapat pula ditulis menggunakan:

·       huruf kecil yang dicetak tebal.
Seperti a, b, c, dan sebagainya. Misalnya, vektor
 di samping ditulis sebagai vektor a.

·       huruf kecil yang di atas huruf itu dibubuhi tanda panah.
Seperti a̅, b̅, c̅,  dan sebagainya. Misalnya vektor  dapat ditulis sebagai vektor a̅.

Penulisan vektor dengan menggunakan lambang panah di atas lebih sering digunakan. Karena mnggunakan tulisan tangan, vektor yang dibubuhi tanda panah lebih mudah dituliskan daripada yang dicetak tebal.
Kalian bebas memilih cara penulisan vektor tersebut.

Sekarang, perhatikan sebarang titik A(a₁, a₂) dan titik B(b₁, b₂) pada koordinat Cartesius berikut.

 

Pada bidang Cartesius tersebut, vektor a mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O(0, 0) ke titik A(a1, a2). Oleh karena itu, vektor a ini dapat kalian tuliskan dalam bentuk pasangan terurut a (a₁, a₂). Adapun vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O(0, 0) ke titik B(b₁, b₂). Vektor b dapat kalian tuliskan sebagai b (b₁, b₂).

Dengan menggunakan rumus jarak, kalian dapat menentukan panjang vektor a dan b ini, yaitu:

Dengan menarik ruas garis dari titik A ke titik B, kalian mendapatkan vektor c. Dengan menggunakan rumus jarak, vektor c ini dapat di tuliskan sebagai c (b₁ – a₁, b₂ – a₂) sehingga panjang vektor c adalah : .

Jika arah vektor c dibalik, maka akan didapat vektor –c, yaitu sebuah vektor yang panjangnya sama dengan panjang vektor c dengan arah berlawanan. Vektor ini disebut vektor invers dari vektor c. Jika ditulis dalam bentuk pasangan terurut, vektor –c (a₁ – b₁, a₂ – b₂). Panjangnya adalah:

Untuk setiap vektor a yang bukan vektor nol, dapat ditentukan suatu vektor satuan dari vektor a, dilambangkan dengan ê. Vektor satuan arahnya searah dengan vektor a dan panjangnya sama dengan satu
satuan.

Jika vektor , maka vektor satuan dari a dirumuskan dengan:

Vektor-vektor satuan î dan ĵ dapat dinyatakan dengan vektor kolom, yaitu:

Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang (R²), kalian dapat memahami vektor pada ruang (R³). Misalnya, ambil sebarang titik A(a₁, a₂, a₃) dan B(b₁, b₂, b₃) pada ruang (R³), maka kalian dapat menuliskan
vektor a yang mewakili vektor  dan vektor b yang mewakili vektor  dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut.

Untuk vektor pada ruang (R³), juga dapat ditentukan vektor satuannya. Jika vektor  , maka vektor satuan dari a dirumuskan dengan:

Vektor-vektor satuan î, ĵ, dan k̂ dapat dinyatakan dengan vector kolom, yaitu:

 

Contoh

1.     Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(0, 3, 5), B(2, 4, 6), dan C(4, 3, 1). Tentukan:

a.     Vektor p yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B

b.     Vektor q yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C

c.      Vektor r yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C

d.     Keliling segitiga ABC

 

Alternatif Pembahasan:

a.    Vektor p mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B, maka .
Panjang vektor p adalah: 

 

b.    Vektor q mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C, maka 
Panjang vektor q adalah 

c.     Vektor r mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke
titik C, maka: .
Panjang vektor r adalah:

 

d.    Keliling segitiga ABC adalah .

 

2.    Diketahui vektor a dan b di R². Jika │a│= 5, │b│= 7, dan , tentukan │a – b│.

Alternatif Pembahasan:

 

 

 

Sumber

 

Labels: Matematika

Thanks for reading Pengertian Vektor. Please share...!