Sifat-Sifat Operasi Hitung pada Vektor

Selasa, 29 Agustus 2023

B. 3. Sifat-Sifat Operasi Hitung pada Vektor

 

Vektor di R² berhubungan dengan letak suatu titik pada sebuah bidang dengan pasangan bilangan (x, y) merupakan koordinat Cartesius dari suatu titik atau koordinat bidang.

Vektor R² mempunyai pasangan bilangan (x, y, z) yang merupakan koordinat Cartesius dari suatu titik atau koordinat ruang ke tiga sumbu membentuk tiga bidang, yaitu bidang xy, bidang xz, dan bidang yz.

Ketiga bidang tersebut membagi ruang dimensi tiga menjadi 8 daerah seperti Gambar 5.10.

Sifat-sifat yang terdapat dalam operasi hitung vektor adalah sebagai berikut.

Dalam buku ini akan dibuktikan sifat 1, sifat 2, sifat 4, dan sifat 7. Untuk sifat-sifat yang lain, dapat kalian buktikan sendiri.

 

Ambil sebarang vektor a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b2, b₃), maka

a + b = (a₁, a₂, a₃) + (b₁, b₂, b₃)

          = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)

          = (b₁ + a₁, b₂ + a₂, b₃ + a₃)

          = (b1, b₂, b₃) + (a₁, a₂, a₃)

          = b + a

Jadi, a + b = b + a.

 

Ambil sebarang vektor a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃), dan c = (c₁, c₂, c₃), maka:

(a + b) + c = ((a₁, a₂, a3) + (b₁, b₂, b3)) + (c₁, c₂, c₃)

         = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a3 +b3) + (c₁, c₂, c₃)

                  = (a₁ + b₁ + c₁, a₂ + b₂ + c₂, a₃ + b₃ + c₃)

                  = (a₁ + (b1 + c₁), a₂ + (b₂ + c₂), a₃ + (b₃ + c₃))

                  = (a₁, a₂, a₃) + (b₁ + c₁, b₂ + c₂, b₃ + c₃)

                  = (a₁, a₂, a₃) + ((b₁, b₂, b₃) + (c₁, c₂, c₃))

                  = a + (b + c)

Jadi, (a + b) + c = a + (b + c).

 

Ambil sebarang vektor a = (a₁, a₂, a₃), maka :

a + (–a) = (a₁, a₂, a₃) + (–a₁, –a₂, –a₃) + (a₁ – a₁, a₂ – a₂, a₃ – a₃)

     = (0, 0, 0)

     = o

Jadi, a + (–a) = o.

 

Ambil sebarang skalar k dan l serta vektor a = (a₁, a₂, a₃), maka :

(k + l)a = (k + l)(a₁, a₂, a₃)

            = ((k + l)a₁, (k + l)a₂, (k + l)a₃)

            = (ka₁ + la₁, ka₂ + la₂, ka₃ + la₃)

            = (ka₁, ka₂, ka₃) + (la₁, la₂, la₃)

            = k(a₁, a₂, a₃) + l(a₁, a₂, a₃)

            = ka + la

Jadi, (k + l)a = ka + la.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Sifat-Sifat Operasi Hitung pada Vektor. Please share...!