Teorema Dasar Kalkulus

Sabtu, 05 Agustus 2023

C. 2. Teorema Dasar Kalkulus

Berdasarkan definisi integral tertentu, maka dapat diturunkan suatu teorema yang disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus.

 

Jika f kontinu pada interval [a, b], dan andaikan F sembarang antiturunan dari f pada interval tersebut, maka .

Dalam pengerjaan hitung integral tertentu ini akan lebih mudah jika kalian menggunakan teorema-teorema berikut.

 

Teorema 1

Kelinearan
Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta, maka

    

 

Teorema 2

Perubahan batas
Jika f terintegralkan pada interval [a, b] maka:

    

 

Teorema 3

Teorema penambahan interval

Jika f terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titik a, b, dan c, maka

    

 

Teorema 4

Kesimetrian

a.      Jika f fungsi genap, maka 

b.     Jika f fungsi ganjil, maka 

 

Akan dibuktikan teorema 1a dan 1c, teorema 2b, dan teorema 3.

Pembuktian Teorema 1a

1a. Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka

 

 

Pembuktian Teorema 1b dan 1c

1b. Jika F(x) dan G(x) masing-masing sembarang antiturunan

      dari f(x) dan g(x), maka:

    

 

 

Pembuktian Teorema 2b

2b.  Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka:

    

 

 

Pembuktian Teorema 3

Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka:   

 

Contoh

1.   Hitunglah 

Alternatif Pembahasan :

  

 

2.   Tentukan 

Alternatif Pembahasan :

Oleh karena untuk f(x) = x², berlaku f(–x) = f(x), maka f(x) = x² merupakan fungsi genap.

Dengan menggunakan Teorema 4, akan diperoleh:

    

 

3.   Tentukan  jika fungsi f didefinisikan sebagai:

Alternatif Pembahasan :

 

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Teorema Dasar Kalkulus. Please share...!