Kegiatan Pembelajaran 1: Relasi , Fungsi Dan Fungsi Linier

Jumat, 27 Oktober 2023

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan peserta didik mengenal konsep relasi, fungsi dan fungsi linear serta mampu menyelesaiakan masalah yang berkatian dengan fungsi linear.

B. Uraian Materi

Pernahkah Kalian mendatangi suatu tempat, seperti mall dan melihat tarip parker sebagai berikut: parkir untuk mobil, satu jam pertama Rp. 4000,00 dan untuk jam berikutnya Rp. 3000,00 sehinga seorang yang memarkir mobilnya selama 3 jam harus membayar biaya parkirnya Rp. 10.000,00? Proses perhitungan parkir tersebut merupakan salah satu aplikasi fungsi dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh lain penerapan fungsi adalah jarak dan kecepatan. Setiap orang yang berjalan untuk berpindah tempat dari tempat yang satu ke tempat yang lain tentu saja memiliki kecepatan. Saat berjalan, seseorang bisa mempercepat, memperlambat, bahkan berjalan dengan kecepatan tetap.

Dalam fungsi, kecepatan yang dipakai yaitu pada saat kecepatan tetap (konstan). Saat seseorang mulai berjalan, kemungkinan kecepatannya akan dipercepat atau diperlambat. Di lain pihak, tentu saja ada waktu di saat kecepatan mulai konstan. Kecepatan konstan itulah yang berlaku dalam suatu fungsi. Dengan demikian, jarak yang ditempuh pejalan tersebut yang merupakan suatu fungsi.

 

Contoh lain misalkan, seseorang yang akan membuat suatu area penempatan hewan peliharaan (kuda, kambing, atau ayam) sehingga membentuk suatu area yang paling luas dengan penggunaan batasan pagar yang tersedia, maka hal ini dapat menggunakan konsep yang ada pada cakupan materi fungsi kuadarat. Begitu juga permasalahan yang berkaitan dengan proyektil, yakni objek apa pun yang dilemparkan, ditembak, atau dijatuhkan, dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan fungsi kuadrat. Seperti menentukan puncak tertinggi dari benda yang kita lempar. Demikian juga masalah menentukan kecepatan awal peluru pada olah raga tolak peluru.

 

Konsep Relasi dan Fungsi.

Konsep “fungsi” merupakan hal yang penting dalam berbagai cabang matematika. Pengertian fungsi dalam matematika berbeda dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari. Dalam pengertian sehari-hari, “fungsi” adalah guna atau manfaat. Kata fungsi dalam matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716) digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara dua himpunan, sehingga fungsi dapat dikatakan merupakan hal yang istimewa dari suatu relasi antara dua himpunan.

Untuk memahami konsep fungsi, coba Kalian perhatikan ilustrasi berikut. Sejak tahun 2006, melalui Undang-undang nomor 23 tahun 2006 tentang Administrasi Kependudukan, pemerintah mewajibkan semua warga Negara Indonesia memiliki Nomor Induk Kependudukan (NIK) yang tidak sama dengan orang lain. Hubungan NIK dengan individu seseorang merupakan fungsi pemetaan yang informasi kependudukan orang yang bersangkutan. Program NIK berkaitan dengan e-KTP. Dengan e-KTP diharapkan seseorang tidak lagi berpeluang memiliki lebih dari satu KTP karena telah menggunakan sistem basis data terpadu yang menghimpun data penduduk dari seluruh Indonesia.

Seperti juga NIK, setiap orang dari Kalian pasti punya nomor sepatu, nomor celana atau nomor baju masing-masing. Misalnya ukuran sepatu Ardi adalah 39, Dani adalah 40, Aqil adalah 42, Rano adalah 40 Dian adalah 34, Rani adalah 35 dan Dewi 33. Setiap orang memiliki ukuran unik (tunggal) dan beberapa orang bisa memiliki ukuran sepatu yang sama, misalnya Dani dan Rano. Tetapi, tidak ada orang yang memiliki Nomor Sepatu Nama Pemakai Sepatu ukuran sepatu lebih dari satu. Kita menyatakan hubungan atau relasi ini sebagai fungsi dan dapat digambarkan pada diagram panah berikut.

Hubungan tersebut dapat juga dituliskan dalam bentuk pasangan berurut: (Ardi, 39), (Dani, 40), (Aqil, 42), (Rano, 40), (Dian, 34), (Rani, 35), (Dewi, 33). Hubungan antara Ardi dengan angka 39 adalah nomor sepatu yang digunakan. Begitu juga hubungan Dani, Aqil, dan nama-nama lain yang ada pada himpunan A dengan angka-angka yangada pada himpunan B dari gambar diagram panah di atas hubungan nomor sepatu yang digunakan. Jadi dua himpunan di atas dihubungkan oleh aturan nomor sepatu dan ditKaliani dengan garis panah yang menghubungkan anggota kedua himpunan.

Aturan yang menghubungkan kelompok nama dengan kelompok nomor sepatu pada Gambar 1.4 disebut relasi antara kelompok nama pada himpunan A dengan nomor sepatu pada himpunan B, relasinya adalah ‘nomor sepatu yang digunakan’. Relasi yang disajikan pada Gambar 1.4 di atas ditKaliani dengan sebuah garis panah dari kelompok nama menuju kelompok nomor sepatu, relasi seperti ini biasa disebut relasi yang dinyatakan dengan diagram panah. Selain dengan diagram panah. Relasi dapat juga dinyatakan dengan himpunan pasangan terurut dan dengan menggunakan diagram kartesius seperti berikut.

Untuk lebih memahami masalah relasi, coba Kalian perhatikan contoh berikut:

Contoh 1.1
Dalam rangka Pekan Olah Raga Pelajar tingkat provinsi, SMA XYZ mengirimkan beberapa orang siswanya untuk mengikut seleksi tingkat kabupaten. Dari 9 cabang yang akan dilombakan, yaitu Bola Basket, Bola Voli, Bola Kaki, Futsal, Badminton, Tenis Lapangan, Tenis Meja dan Catur, SMA XYZ meloloskan 6 siswanya untuk mewakili tim kabupaten dalam 6 cabang yang dilombakan, yaitu Eko untuk cabang Bola Basket, Fachri untuk bola kaki dan futsal, Bianca dan Ratna untuk bola voli, Jarwo untuk Badminton, dan Awi untuk tenis meja. Pak Alam sebagai guru olah raga yang membimbing siswa ikut seleksi akan membuat laporan kepada kepala sekolah dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurut dan diagram kartesius. Bagaimana bentuk laporan yang akan dibuat pak Alam?

Alternatif Penyelesaian:

·    Pasangan Berurut
Himpunan pasangan berurut: {(Eko, Basket), (Fachri, B. Kaki), (Fachri, Futsal), (Bianca, B. Voli), (Ratna, B. Voli), (Jarwo, Badminton), (Awi, T. Meja)

·    Diagram panah.
Kelompok Siswa Kelompok Cabang Olah Raga

·    Diagram Kartesius

Dari paparan dan contoh di atas, kita dapat menemukan definisi dari relasi.

Definisi 1.1

Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi dari A ke B adalah aturan pengaitan/pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B

Perhatikan Contoh 1.1, terlihat bahwa Kalian panah mengarah dari anggota himpunan siswa yang terpilih seleksi ke anggota Cabang Olah Raga. Himpunan yang anggotanya akan dipasangkan pada Contoh 1.1., yaitu himpunan siswa disebut daerah asal (domain). Himpunan Cabang Olah raga yang akan diikuti disebut daerah kawan (kodomain). Himpunan yang anggotanya adalah anggota daerah kawan yang memiliki pasangan di daerah asal disebut daerah hasil (range). Himpunan daerah asal (Domain) pada contoh 1.1 adalah {Eko, Fachri, Bianca, Ratna, Jarwo, Awi}. Himpunan daerah kawan (Kodomain) adalah {B. basket, B. Voli, B. Kaki, Futsal, Catur, Tenis Lapangan, tenis Meja, Badminton}. Daerah hasilnya (Range) adalah {B. basket, B. Voli, B. Kaki, Futsal, tenis Meja, Badminton}.

Contoh 1.2
Sebuah pusat perbelanjaan menerapkan tarip parkir mobil pengunjung dalam tabel
berikut:

Gambarkanlah biaya parkir di atas dalam bentuk grafik kartesius. Jika seseorang memarkirkan mobilnya dari pukul 07.30 WIB sampai dengan pukul 10.00 WIB, berapa  biaya parkir yang harus dibayar?

Alternatif Penyelesaian:
Tarif parkir berdasarkan Tabel 1.1 di atas, jika digambarkan dalam grafik kartesius ditunjukkan sebagai berikut.

Jika lama waktu parkir dari pukul 07.30 WIB sampai pukul 10.00 WIB, maka seseorang itu parkir selama 2 jam 30 menit dan membayar parkir sebesar Rp 6.000,-. Hubungan antara lama waktu parkir dengan biaya parkir pada Contoh 1.2 di atas merupakan sebuah contoh relasi.
Dari relasi antara waktu parkir dengan biaya pada Contoh 1.2 di atas, dinyatakan hal-hal berikut.
Daerah asal adalah {t : 0 < t ≤ 24}
Daerah kawan adalah: {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }
Daerah hasil adalah: {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

Berdasarkan contoh-contoh di atas, ditemukan definisi daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil sebagai berikut.

Definisi 1.2

Daerah asal atau biasa disebut domain suatu relasi adalah himpunan tidak kosong dimana sebuah relasi didefinisikan.

Definisi 1.3
Daerah kawan atau biasa disebut kodomain suatu relasi adalah himpunan tidak kosong dimana anggota domain memiliki pasangan sesuai relasi yang didefinisikan.

Definisi 1.4
Daerah hasil atau biasa disebut range suatu relasi adalah sebuah himpunan bagian dari daerah kawan (kodomain) yang anggotanya adalah pasangan anggota domain yang memenuhi relasi yang didefinisikan.

Sebuah relasi sering dinyatakan dalam bentuk persamaan dalam variabel x dan y, sebagai contoh: y = 2x dan y = x². Nilai x merupakan domain relasi dan nilai y merupakan daerah hasil relasi. Pada persamaan y = 2x, jika domain x dibatasi oleh 0 < x ≤ 5, untuk x bilangan riil, maka daerah hasilnya adalah 0 < y ≤ 10.
Akan tetapi, tidak semua relasi dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan. Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan Gambar 1.9, dapat diketahui bahwa:
(i)   Seluruh titik pada x > 0 dan y > 0 merupakan contoh relasi.
(ii)  Kesepuluh titik-titik pada Gambar 1.9 (ii) merupakan contoh relasi.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 1: Relasi , Fungsi Dan Fungsi Linier. Please share...!