Persamaan Lingkaran yang Memenuhi Kriteria Tertentu

Sabtu, 19 Oktober 2024

4.     Persamaan Lingkaran yang Memenuhi Kriteria Tertentu

Untuk menentukan persamaan suatu lingkaran dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

a.    Tentukan pusat dan jari-jarinya, kemudian substitusikan ke persamaan

(x – a)² + (y – b)² = r²

b.    Tentukan nilai A, B, dan C kemudian substitusikan ke persamaan

x² + y² + Ax + By + C = 0

Contoh 8.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan menyinggung garis

3x – 4y + 5 = 0

Alternatif Penyelesaian:

Untuk menentukan persamaan lingkaran tersebut, kita harus tahu nilai r. Jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis yang menyinggung lingkaran.

Jarak sembarang titik (x₁, y₁) ke sebarang garis Ax + By + C = 0 adalah:

berarti jarak antara titik O(0, 0) dengan garis 3x – 4y + 5 = 0 adalah :

 

 

Contoh 9.

Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan ruas garis yang menghubungkan titik P(1, −4) dan Q(−3, 2).

Jawab

Sketsa di samping menunjukkan titik pusat M adalah titik tengah garis PQ.

Koordinat titik tengah dari sebuah garis PQ dengan P(x_P, y_P) dan Q(x_Q, y_Q) adalah:

Sehingga koordinat titik M adalah :

Persamaan lingkaran dengan pusat M(−1, −1) dan jari – jari r = ½ √52 adalah:

Contoh 10.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (5, –3) dan menyinggung sumbu Y.

Jawab

Berdasarkan gambar diketahui bahwa jari-jari lingkaran adalah 5.

Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat (5, –3) dan jari – jari r = 5 adalah:

Contoh 11.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 1) dan menyinggung garis 4x + 3y + 4 = 0.

Jawab

Jari-jari lingkaran adalah jarak titik (2, 1) dengan garis 4x + 3y + 4 = 0, sehingga:

Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat (2, 1) dan jari-jari 3 adalah:

Contoh 12.

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (0, 4), (1, 3), dan (1, –1).

Jawab

Misalkan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik tersebut adalah:

x² + y² + Ax + By + C = 0.

Kita akan menentukan nilai A, B, dan C sebagai berikut.

(0, 4) pada lingkaran, maka 0² + 4² + A(0) + B(4) + C = 0

4B + C = –16                 … (1)

(1, 3) pada lingkaran, maka 1² + 3² + A(1) + B(3) + C = 0

A + 3B + C = –10          … (2)

(1, –1) pada lingkaran, maka 1² + (–1)² + A(1) + B(–1) + C = 0

A – B + C = –2              … (3)

Eliminasi C pada persamaan (2) dan (3) diperoleh:

          

Substitusi B = –2 ke persamaan (1)

diperoleh 4(–2) + C = –16 ⇒ C = –16 + 8 ⇒ C = –8

Substitusi B = –2 dan C = –8 ke persamaan (2)

diperoleh A + 3(–2) + (–8) = –10 ⇒ A – 14 = –10 ⇒ A = 4

Jadi, persamaan lingkaran yang melalui titik (0, 4), (1, 3), dan (1, –1) adalah:

x² + y² + 4x – 2y – 8 = 0

 

 

“Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading Persamaan Lingkaran yang Memenuhi Kriteria Tertentu. Please share...!