Teori Bilangan - 1

Senin, 16 Desember 2019

A.    Uji Habis Dibagi

1.    Suatu bilangan habis 5 jika dan hanya digit terakhir dari bilangan tersebut 
      adalah 0 atau 5

Contoh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.

2.     Suatu bilangan habis dibagi 2ⁿ jika dan hanya jika n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2ⁿ.

Contoh : 134576 habis dibagi 8 = 2³ sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)

         4971328 habis dibagi 16 = 2⁴ sebab 1328 habis dibagi 16.

3.     Suatu bilangan habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3.

Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 = 27 habis dibagi 3.

4.     Suatu bilangan habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9.

Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.

5.     Suatu bilangan habis dibagi 11 jika dan hanya jika selisih antara jumlah digit bilangan tersebut pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11.

Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) – (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11.

Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.

B.    Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima. Berlaku sebab sebaliknya.

Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

C.    Misalkan N jika dibagi p akan bersisa r. Dalam bentuk persamaan N = pq + r dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan habis bagi dan r menyatakan sisa.

Persamaan di atas sering pula ditulis N ≡ r (mod p).

D.   Kuadrat suatu bilangan bulat, habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4. Maka suatu bilangan bulat yang bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadrat. Pembuktian bisa dilakukan dengan menyatakan bahwa sebuat bilangan pasti akan termasuk salah satu dari bentuk 4k, 4k + 1, 4k + 2 atau 4k + 3 dilanjutkan dengan pengkuadratan masing-masing bentuk. Sedangkan bilangan kuadrat jika dibagi 3 akan bersisa 0 atau 1. Dan seterusnya untuk pembagi yang lain.

E.    Angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9.

F.     Bilangan pangkat tiga (kubik) jika dibagi 7 akan bersisa 0, 1 atau 6. Cara pembuktian sama dengan pembuktian pada bilangan kuadrat.

G.   Misalkan  maka :

Faktor Persekutuan Terbesar dari M dan N ditulis FPB .

Kelipatan Persekutuan Terkecil dari M dan N ditulis .

Dengan      c₁ = min (a₁, b₁) ; c₂ = min (a₂, b₂) ; c₃ = min (a₃, b₃) ; ... ; c_n = min (a_n, b_n)

                  d₁ = min (a₁, b₁) ; d₂ = min (a₂, b₂) ; d₃ = min (a₃, b₃) ; ... ; d_n = min (a_n, b_n).

H.   Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) sama dengan 1.

Contoh : 26 dan 47 adalah prima relatif sebab FPK 26 dan 47 ditulis FPK (26, 47) = 1.

I.      Faktor Persekutuan Terbesar (FPK) dari dua bilangan asli berurutan adalah 1.

FPK (n, n + 1) = 1 dengan n bilangan asli.

J.      Jika x sebarang bilangan real, maka ⌊x⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x_.

Contoh : ⌊π⌋ = 3 ; ⌊0,5⌋ = 0 ; ⌊– 1,6⌋ = – 2.

Kita selalu memperoleh (x – 1) < ⌊x⌋ ≤ x

Jika x sebarang bilangan real, maka ⌈x⌉ menyatakan bilangan bulat terkecil lebih dari atau sama dengan x.

Contoh : ⌊π⌋ = 4 ; ⌊0,5⌋ = 1 ; ⌊– 1,6⌋ = – 1.

Kita memperoleh bahwa ⌊x⌋ selalu memperoleh (x – 1) < ⌊x⌋ ≤ x

Jika x sebarang bilangan real, maka ⌈x⌉ ≤  ⌈x⌉.

Tanda kesamaan terjadi hanya saat x adalah bilangan bulat.

K.   Tanda ⌊ ⌋ dapat digunakan untuk menetukan nilai k bulat terbesar sehingga a^k membagi n! Dengan a merupakan bilangan prima dan “!” menyatakan faktorial.

 

Contoh : k terbesar yang membuat 3^k membagi

  .

L.    Misalkandengan  p₁, p₂, p₃, ... , p_n bilangan prima maka banyaknya pembagi (disebut juga dengan faktor) dari M adalah (d₁ + 1) (d₂ + 1) (d₃ + 1) ... (d_n + 1).

Contoh : Banyaknya faktor dari 600 = 2³ · 3 · 5² adalah (3 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 24.

M.  Jika X dinyatakan oleh perkalian n bilangan bulat berurutan maka X habis dibagi n! Denan tanda “!” menyatakan faktorial.

Contoh :  4 · 5 · 6 · 7 habis dibagi 4! = 24 karena 4, 5, 6 dan 7 adalah 4 bilangan bulat berurutan.

N.   Untuk sebuah bilangan prima p dan sembarang bilangan bulat a, kita dapatkan p selalu membagi (a^p – a). Ini disebut Teorema Kecil Fermat (Fermat Little Theorem). Penulisan dalam bentuk lain adalah a^p – a ≡ 0 (mod p) atau dapat juga ditulis a^p ≡ a (mod p).

O.    Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat diubah ke dalam bentuk a / b dengan a dan b masing-masing adalah bilangan bulat.

P.       (suatu bilangan yang terdiri dari n digit) dapat diuraikan menjadi

A·10^{n – 1} + B·10^{n – 2} + C·10^{n – 3} + D·10^{n – 4} + ··· + N.

Contoh : 48573 = 4·10⁴ + 8·10³ + 5·10² + 7·10 + 3 = 40000 + 8000 + 500 + 70 + 3.



Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Teori Bilangan - 1. Please share...!