Dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan maupun dikurangkan jika dan hanya jika matriks-matriks tersebut mempunyai dimensi (ukuran) yang sama. Selanjutnya, jika penjumlahan atau pengurangan matriks dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan setiap elemen yang berkorespondensi.
[a b c d e f ] + [g h i j k l] = [a + g b + h c + i d + j e + k f + l]
Jika dua
buah matriks tidak mempunyai dimensi yang sama, maka dua matriks tersebut tidak
dapat dijumlahkan maupun dikurangkan.
Contoh
Jika
memungkinkan, jumlahkan kedua matriks di bawah ini, namun jika tidak
memungkinkan, jelaskan alasannya!
Alternatif
Pembahasan:
(a) kedua matriks mempunyai dimensi 3x2, sehingga operasi penjumlahan dapat dilakukan. Selanjutnya, dengan menjumlahkan setiap elemen yang berkorespondensi, diperoleh hasil sebagai berikut:
(b) dimensi dari matriks pertama adalah 3x2 dan dimensi
dari matriks kedua adalah 2x3. Karena kedua matriks mempunyai dimensi yang
berbeda, maka kedua matriks tersebut tidak dapat dijumlahkan.
Contoh
Operasi
pengurangan sama dengan operasi penjumlahan, hanya saja tandanya berbeda. Dalam
operasi pengurangan, kita harus berhati-hati dengan tanda negatif, karena
disinilah biasanya kesalahan terjadi.
Hitunglah
hasil dari:
Alternatif
Pembahasan:
Dengan mengurangkan elemen-elemen yang saling berkorespondensi, diperoleh hasil sebagai berikut:
Sifat
Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Misalkan
matriks A, B, dan C mempunyai dimensi yang sama.
Sifat
Komutatif: Seperti halnya operasi penjumlahan pada bilangan real, operasi
penjumlahan matriks bersifat komutatif. Akan tetapi, operasi pengurangan
matriks tidak bersifat komutatif. Dengan kata lain, A + B = B + A namun A
– B ≠ B – A.
Sifat
Asosiatif: Seperti halnya operasi penjumlahan pada bilangan real, operasi
penjumlahan matriks juga bersifat asosiatif. Akan tetapi, operasi pengurangan
matriks tidak bersifat asosiatif. Dengan kata lain, A + (B + C)
= (A + B) + C namun A – (B – C) ≠ (A – B) – C
Contoh:
Misalkan A = [2 −4 5 2], B = [−1 3 −2 0] dan C = [1 2 2 1]
Hitunglah:
(a) 2A
+ 3B
(b) –A
– 3B + 2C
Alternatif
Pembahasan:
(a) Kita perlu mengalikan matriks A dengan
skalar 2, mengalikan matriks B dengan skalar 3, kemudian menjumlahkannya.
= 2[2 −4
5 2] + 3[−1 3 −2 0 ]
= [4 −8 10 4] + [−3 9 −6 0]
= [1 1 4
4]
(b) Kita lakukan perhitungan seperti di
bawah. Jangan lupa untuk mengalikan matriks dengan skalar terlebih dahulu,
sebelum melakukan penjumlahan maupun pengurangan.
= −1[2 −4 5 2] − 3[−1 3 −2 0] + 2[1 2 2 1]
= [−2 4 −5 −2] − [−3
9 −6 0] + [2 4 4 2]
= [−2 −(−3) + 2 4 – 9 +
4 −5 −(−6) + 4 −2 −0 + 2]
= [ 3 −1 5 0]
Contoh 3
Carilah nilai a, b, c,
dan d sedemikian hingga persamaan berikut ini berlaku!
[3 −2 5 −1] − [a b c d] = [1 1 1 1]
Alternatif
Pembahasan:
Selanjutnya,
kelompokkan elemen yang sama dan selesaikanlah setiap persamaan yang terbentuk.
3 – a =
1, sehingga a = 2
−2 – b =
1, sehingga b = −3
5 – c =
1, sehingga c = 4
−1 – d =
1, sehingga d = −2.
Contoh 4
Tabel di
bawah ini menunjukkan jumlah skateboards yang diproduksi oleh sebuah tim
pekerja selama 1 minggu. Tim A mempunyai 8 orang pekerja dan Tim B mempunyai 12 orang pekerja.
standard skateboard premium skateboard
Tim
A
50
40
Tim
B
45
30
Alternatif
Pembahasan:
Secara
keseluruhan berapakah selisih antara jumlah standard skateboards dan premium
skateboards dari masing-masing tim?
Buatlah dua
buah matriks dari setiap tim.
Tim A:
[50 40]
Tim B:
[45 30]
Data di atas
menyatakan jumlah skateboards yang diproduksi oleh masing-masing tim dalam satu
minggu. Dari pernyataan pada contoh di atas, diketahui bahwa tim A mempunyai 8
orang pekerja dan tim B mempunyai 12 orang perkerja. Selanjutnya, dengan
mengalikan setiap matriks dengan skalar (jumlah pekerja), diperoleh jumlah
skateboards yang dihasilkan oleh setiap tim dalam satu minggu.
Tim A: 8 [50 40] = [400 320]
Tim B: 12 [45 30] = [540 360]
Untuk
mencari jumlah total dari setiap tipe skateboard, kita dapat menjumlahkan
matriks-matriks tersebut.
[400
320] + [540 360] = [940 980]
Jadi, kedua
tim memproduksi 940 standard skateboards dan 980 premium skateboards. Dengan
kata lain, jumlah premium skateboards lebih banyak daripada jumlah standard
skateboards, dengan selisih 40 buah.
Sumber
Thanks for reading Penjumlahan dan Pengurangan Matriks. Please share...!
