Barisan adalah kumpulan objek-obejek yang disusun menurut pola tertentu. Objek pertama dinamakan suku pertama, objek kedua dinamakan suku kedua, objek ketiga dinamakan suku ketiga dan seterusnya sampai objek ke-n dinamakan suku ke-n atau Un. Jika objek-objek tersebut berupa bilangan, maka bentuk penjumlahan dari objekobjek tersebut sampai n suku dinamakan deret.
Barisan
aritmatika adalah suatu barisan angka-angka dimana U2 – U1
= U3 – U2 = U4 – U3
= … = Un – Un–1 = beda
(merupakan angka yang tetap).
Sehingga :
(1)
3,
7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35 adalah barisan aritmatika dengan beda - 4
(2)
63,
58, 53, 48, … , 3 adalah barisan aritmatika dengan beda - 5
(3)
5
+ 8 + 11 + 14 + 17 + … + 50 adalah deret aritmatika dengan beda - 3
(4)
3
+ 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + … adalah deret aritmatika tak hingga dengan beda - 2
Jika suku
pertama suatu barisan aritmatika dinamakan a, maka diperoleh:
U1 = a
U2 = U1
+ b = a + b
U3 = U2
+ b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = U3
+ b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = U4
+ b = (a + 3b) + b = a + 4b
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Un = …………………….. = a + (n – 1)b
Jadi suku
ke-n barisan aritmatika dirumuskan: Un = a + (n – 1)b …
(1)
Sebagai
contoh diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, …
Maka suku
ke-21 dapat ditentukan dengan rumus :
U21 = a + (21 – 1)b = a + (20)b = 3 + (20)4 = 83
Untuk
menentukan rumus jumlah sampai suku ke-n,
dapat ditentukan dengan cara :
Sn = a + a + b +
a + 2b + a + 3b
+ … + Un
Sn = Un + Un–1 + U n–2
+ U n–2 + … + a
Sn
= a
+ a + b + a + 2b + a + 3b
+
… + Un
Sn
= Un
+ Un – b + Un – 2b + Un – 3b + … + a
-------------------------------------------------------------------------------
+
2Sn = a + Un + a + Un + a +
Un + a + Un + … + a
+ Un
2Sn = n (a + Un)
Sn
= ½ n (a + Un) …
(2)
Sn
= ½ n (a + a + (n – 1)b)
Sn
= ½ n [2a + (n – 1)b] …
(3)
Sebagai
contoh diketahui deret : 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + … Jumlah 10 suku pertamanya
dapat ditentukan dengan rumus :
Sn = ½ n [2a + (n – 1)b]
Sn = ½ (10) [2(3) + (10 – 1)4] = 5 [6 +
36] = 5 [42] = 210
Jika suatu
barisasn aritmatika diketahui n ganjil,
maka suku tengah dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut :
Sebagai
contoh diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, …
Jika barisan
tersebut diteruskan sampai 15 suku, maka suku tengahnya dapat ditentukan dengan
rumus :
UT = ½ [a + U15] = ½ [3
+ (3 + (15 – 1)4)] = ½ [6 + 56] = 31
Selanjutnya
kita juga dapat merumuskan hubingan antara Un
dan Sn, yakni :
Un = Sn – Sn–1 … (5)
Untuk lebih
memantapkan pemahaman konsep di atas ikutilah contoh soal berikut ini:
1.
Manakah
diantara barisan berikut ini merupakan barisan aritmatika:
a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, …
b) 5, –10, 15, –20, 25, –30, …
c) 30, 27, 24, 21, 18, 15, …
d) 5, 7, 10, 14, 19, 25, 32, …
Alternatif Pembahasan :
a) Bukan barisan aritmatika
b) Bukan barisan aritmatika
c) Barisan aritmatika dengan beda –3
d) Bukan barisan aritmatika
2.
Jika
diketahui 3 + 5 + 7 + 9 + … + x = 99
maka tentukanlah nilai x
Alternatif Pembahasan :
Diketahui 3 + 5 + 7 + 9 +
… + x = 99
Maka :
a = 3
b = 5 – 3 = 2
Sn = 99
Sehingga :
Sn = ½ n [2a + (n – 1)b]
99 = ½
n [2(3) + (n – 1)2]
198 = n [6 + 2n – 2]
198 = n [4 + 2n]
198 =
4n + 2n2
2n2 + 4n – 198 = 0
n2 + 2n – 99 =
0
(n – 9)(n + 11) = 0
n = 9
Jadi : x = U9
x
= a + (9 – 1)b
x
= 3 + (8)2
x
= 19
3.
Diketahui
deret aritmatika 10 + 14 + 18 + … Jika deret tersebut diteruskan sampai 9 suku,
maka suku tengahnya adalah …
Alternatif Pembahasan :
Diketahui : a
= 10
b = 14 – 10 = 4
n = 9
Maka : U9 = a + (9 – 1) b
U9 = 10 + (8) 4
U9 = 42
Jadi : UT = ½ (a + Un) = ½ (10 +
42) = 26
Sumber
Thanks for reading Barisan dan Deret Aritmatika. Please share...!
