Penerapan Induksi Matematika pada Barisan dan deret

Minggu, 30 Oktober 2022

Langkah-langkah pembuktian :

(1) Tunjukkan bahwa rumus S(n) benar untuk n = 1, 2, 3

(2) Anggap bahwa rumus S(n) benar untuk n = k

(3) Akan dibuktikan bahwa rumus S(n) benar untuk n = k + 1

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini

1. Dengan induksi matematika buktikanlah rumus

3 + 7 + 11 + 15 + … + (4n – 1) = n(2n + 1)

Alternatif Pembahasan :

Untuk n = 1, diperoleh 3 = 1(2[1] + 1) = 3 (terbukti)

Untuk n = 2, diperoleh 3 + 7 = 2(2[2] + 1) = 10 (terbukti)

Untuk n = 3, diperoleh 3 + 7 + 11 = 3(2[3] + 1) = 21 (terbukti)

Dari data diatas anggap bahwa rumus benar untuk n = k, artinya

3 + 7 + 11 + 15 + … + (4k – 1) = k (2k + 1) adalah benar (hipotesa)

Akan dibuktikan bahwa rumus juga benar untuk n = k + 1, artinya

3 + 7 + 11 + 15 + … + (4k – 1) + (4[k + 1] – 1) = [k + 1](2[k + 1] + 1)

k(2k + 1) + (4[k + 1] – 1) = [k + 1](2[k + 1] + 1)

2k² + k + 4k + 4 – 1 = [k + 1](2[k + 1] + 1)

2k² + 5k + 3 = [k + 1](2[k + 1] + 1)

(k + 1)(2k + 3) = [k + 1](2[k + 1] + 1)

(k + 1)(2k + 2 + 1) = [k + 1](2[k + 1] + 1)

[k + 1](2[k + 1] + 1) = [k + 1](2[k + 1] + 1) terbukti)

Jadi terbukti rumus 3 + 7 + 11 + 15 + … + (4n – 1) = n (2n + 1)

2. Dengan induksi matematika buktikanlah bahwa :

untuk n bilangan asli.

Alternatif Pembahasan :

Untuk n = 1, diperoleh(terbukti)

Dari data diatas anggap bahwa rumus benar untuk n = k, artinadalah benar (hipotesa).

Akan dibuktikan bahwa rumus juga benar untuk n = k + 1, artinya

Bukti :

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Penerapan Induksi Matematika pada Barisan dan deret. Please share...!