Induksi Matematika Pada Pembuktian Rumus

Sabtu, 29 Oktober 2022

Dalam kehidupan sehari hari, kita sering mengambil suatu kesimpulan berdasarkan data-data yang sudah ada.

Kesimpulan tersebut belum valid, karena masih bersifat dugaan (hipotesa).

Kesimpulan akan lebih valid jika hipotesa tersebut diuji berdasarkan fakta yang sudah ada. Cara seperti ini merupakan inti dari prinsip induksi.

Langkah langkah pembuktian rumus dengan induksi matematika :

(1)   Langkah mengambil data (base case)

-  Ambil beberapa data (n = 1, 2, 3, …)

-  Tetapkan kesimpulan sementara /hipotesa (rumus dianggap benar 

    untuk n = k)

(2)   Langkah menguji hipotesa (inductive step)

-  Rumus diuji dengan pengambilan n = k + 1

   Atau Rumus diuji dengan rumus lain yang sudah valid

 

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

 

1.    Dengan induksi matematika buktikanlah bahwa 7²ⁿ⁺¹ + 1 habis dibagi 8 untuk n bilangan asli !

 

Alternatif Pembahasan :

 

Untuk n = 1, diperoleh 7²⁽¹⁾⁺¹ + 1 = 344 habis dibagi 8 (terbukti)

Untuk n = 2, diperoleh 7²⁽²⁾⁺¹ + 1 = 16.808 habis dibagi 8 (terbukti)

Untuk n = 3, diperoleh 7²⁽³⁾⁺¹ + 1 = 823.544 habis dibagi 8 (terbukti)

 

Dari data diatas anggap bahwa rumus benar untuk n = k, artinya

7^2k+1 +1 habis dibagi 8 (hipotesa)

 

Akan dibuktikan bahwa rumus juga benar untuk n = k + 1, artinya

7^2(k+1)+1 + 1 juga habis dibagi 8

 

Tinjau : 7^2(k+1)+1 + 1 = 7^2k+3 +1

    = 7^2k+1.7² +1

    = 49(7^2k+1) + 49 – 8

    = 49 (7^2k+1 + 1) – 8

 

Karena 49 (7^2k+1 + 1) habis dibagi 8 (menurut hipotesa) maka 49 (7^2k+1 + 1) – 8 juga habis dibagi 8.

 

Jadi terbukti bahwa 7^2k+1 + 1 habis dibagi 8 untuk n bilangan asli.

 

2.     Buktikanlah bahwa untuk setiap n bilangan asli, berlaku 2n ≤ 2ⁿ !

 

Alternatif Pembahasan :

 

Ambil n = 1 maka 2(1) ≤ 2¹ artinya 2 ≤ 2 (bernilai benar)

Ambil n = 2 maka 2(2) ≤ 2² artinya 4 ≤ 4 (bernilai benar)

Ambil n = 3 maka 2(3) ≤ 2³ artinya 6 ≤ 8 (bernilai benar)

 

Disimpulkan sementara (hipotesis), bahwa untuk n = k maka 2k ≤ 2^k untuk setiap k bilangan asli.

 

Akan dibuktikan bahwa untuk n = k + 1 maka 2(k + 1) ≤ 2^(k+1)

Bukti :    2(k + 1) ≤ 2^(k+1)

2k + 2 ≤ 2k . 2¹

2k + 2 ≤ 2(2^k)

2k + 2 ≤ 2^k + 2^k

 

Karena 2k ≤ 2^k (berdasarkan hipotesa) dan 2 ≤ 2^k untuk setiap k bilangan asli, maka 2k + 2 ≤ 2^k + 2^k.

 

Jadi terbukti bahwa untuk setiap n bilangan asli, berlaku 2n ≤ 2ⁿ.

 

3.     Dengan induksi matematika buktikanlah bahwa n(n + 1)(n + 2) habis dibagi 3 untuk n bilangan asli !

 

Alternatif Pembahasan :

 

Untuk n = 1, diperoleh 1(1 + 1)(1 + 2) = 6 habis dibagi 3 (terbukti)

Untuk n = 2, diperoleh 2(2 + 1)(2 + 2) = 24 habis dibagi 3 (terbukti)

Untuk n = 3, diperoleh 3(3 + 1)(3 + 2) = 60 habis dibagi 3 (terbukti)

 

Dari data diatas anggap bahwa rumus benar untuk n = k, artinya k(k + 1)(k + 2) habis dibagi 3 (hipotesa).

 

Akan dibuktikan bahwa rumus juga benar untuk n = k + 1, artinya [k+1] ([k +1] + 1) ([k +1] + 2) juga habis dibagi 3.

 

Tinjau : [k +1]([k +1] + 1)([k +1] + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)

     = (k + 1)(k + 2)k + (k + 1)(k + 2)3

 

Karena (k + 1)(k + 2)k habis dibagi 3 (menurut hipotesa) dan (k + 1)(k + 2)3 juga habis dibagi 3 maka 81(k + 1)(k + 2)k + (k + 1)(k + 2)3 habis dibagi 3.

 

Sehingga [k + 1](k + 1] + 1)([k + 1] + 2) habis dibagi 3.

 

Jadi terbukti bahwa n(n + 1)(n + 2) habis dibagi 3 untuk n bilangan asl.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Induksi Matematika Pada Pembuktian Rumus. Please share...!