Segitiga ABC pada gambar berikut ini diputar dengan pusat putaran di O(0, 0) dan sudut putar sejauh α, sehingga menjadi segitiga A′B′C′. Artinya setiap titik pada segitiga ABC tersebut diputar dengan pusat dan sudut putar yang tetetap sehingga diperoleh segitiga A′B′C′.
Untuk α positif, maka perputarannya berlawanan
arah jarum jam. Sedangkan untuk α negatif, maka perputarannya searah
jarum jam
Sebuah titik P(x,y) diputar dengan pusat O(0, 0) sejauh α akan diperoleh bayangan P’(x′,y′) dimana :
x′ = x.cos α – y.sin α
y′ = x.sin α + y.cos α
Atau :
Bukti:
Didalam
segitiga OAP diperoleh hubungan : OA = OP cos β atau x = r.cos β
AP = OP sin β atau y = r.sin β
Di dalam
segitiga OBP diperoleh hubungan:
(i) OB = OP cos (β + α)
x' = r. cos (β + α)
x' = r cos β . cos α – r sin β
. sin α
x' = x cos α – y sin α
(ii) BP = OP sin (β + α)
y' = r. sin (β + α)
y' = r sin β. cos α + r cos β.
sin α
y' = y cos α + x sin α
Walaupun rumus
di atas diturunkan dengan mengambil α sudut positip, tetapi dapat ditunjukkan
bahwa berlaku untuk semua α (α positip atau α negatif).
Jika pusat
putaran di A(h, k) dan sudut putaran sejauh α, maka rumus
menentukan bayangannya dapat diturunkan dengan menggeser titik pusat O(0,
0) sejauh.
Sehingga jika titik P(x,y) diputar dengan pusat A(h, k) sejauh α akan diperoleh bayangan P’(x',y') dimana :
x' – h = (x – h) cos α – (y – k) sin α
y' – k = (x – h) sin α + (y – k) cos α
Atau :
Untuk
pemantapan lebih lanjut, ikutilah contoh soal berikut ini:
1.
Tentukanlah
bayangan titik A(6, –4) jika diputar sejauh 1350 dengan pusat
O(0, 0).
Alternatif Pembahasan :
Sumber
Thanks for reading Transformasi Perputaran (Rotasi). Please share...!
