Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Selasa, 08 November 2022

Seperti yang telah diuraikan di atas, salah satu kedudukan garis terhadap lingkaran adalah garis menyinggung lingkaran. Dalam hal ini terdapat beberapa cara menyatakan persamaan garis singgung lingkaran, yaitu :

(1)   Jika diketahui titik singgungnya T(x₁, y₁)

 

Persamaan garis singggung g pada lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² dengan pusat P(a, b) serta melalui titik T(x₁, y₁) yang terletak pada lingkaran (seperti pada gambar) dapat dirumuskan sebagai berikut :

 

Menurut aturan gradien, maka grdien garis PT dapat dirumuskan:

   

Karena g tegak lurus dengan PT maka gradien garis g dirumuskan :

   

 

Sehingga persamaan garis singgung g adalah :

   

(y – y₁)(y₁ – b) = –(x₁ – a)(x – x₁)

y₁y – by – y₁² + by₁ = –(x₁x – x₁² – ax + ax₁)

x₁x – x₁² – ax + ax₁ + y₁y – by – y₁² + by₁ = 0

x₁x – ax + ax₁ + y₁y – by + by₁ = x₁² + y₁²                           … (1)

Karena T(x₁ , y₁) terletak pada lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² maka berlaku :

(x₁ – a)² + (y₁ – b)² = r²

x₁² – 2ax₁ + a² + y₁² – 2by₁ + b² = r²

x₁² + y₁² = 2ax₁ – a² + 2by₁ – b² + r²                                   … (2)

 

Substitusi (1) dan (2)

x₁x – ax + ax₁ + y₁y – by + by₁ = 2ax₁ – a² + 2by₁ – b² + r²

(x₁x – ax + ax₁ – 2ax₁ + a²) + (y₁y – by + by₁ – 2by₁ + b²) = r²

(x₁x – ax – ax₁ + a²) + (y₁y – by – by₁ + b²) = r²

(x₁ – a)x – a(x₁ – a) + (y₁ – b)y – b(y₁ – b) = r²

(x₁ – a)(x – a) + (y₁ – b)(y – b) = r²

 

Jadi, persamaan garis singggung lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² yang melalui titik T(x₁, y₁) pada lingkaran, dapat dirumuskan sebagai berikut :

 

(x₁ – a)(x – a) + (y₁ – b)(y – b) = r²

 

Untuk lingkaran dengan pusat O(0, 0) dapat diperoleh dengan mengambil a = 0 dan b = 0, sehingga diperoleh : x₁x + y₁y = r²

Jika persamaan diatas diuraikan akan diperoleh

(x₁ – a)(x – a) + (y₁ – b)(y – b) = r²

x₁x – ax₁ – ax + a² + y₁y – by₁ – by + b² = r²

x₁x + y₁y – a(x + x₁) – b(y + y₁) + a² + b² – r² = 0

karena a = – ½  dan b = – ½ B serta a² + b² – r² = C maka diperoleh :

 

Jadi, persamaan garis singggung lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 yang melalui titik T(x₁, y₁) pada lingkaran, dapat juga dirumuskan:

 

 

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:

 

1.     Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran (x – 4)2 + (y + 5)2 = 13 jika titik singgungnya di T(6, –2)

 

Alternatif Pembahasan :

 

lingkaran (x – 4)² + (y + 5)² = 13 Titiknya T(6, –2)

maka :    (x₁ – 4)(x – 4) + (y₁ + 5)(y + 5) = 13

(6 – 4)(x – 4) + (–2 + 5)(y + 5) = 13

2(x – 4) + 3(y + 5) = 13

2x – 8 + 3y + 15 = 13

2x + 3y + 7 = 13

2x + 3y = 6

 

2.     Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 6x – 4y – 21 = 0

jika titik singgungnya di T(2, 5)

 

Alternatif Pembahasan :

 

lingkaran x² + y² + 6x – 4y – 21 = 0 Titiknya T(2, 5)

maka :

2x + 5y + 3(x + 2) – 2(y + 5) – 21 = 0

2x + 5y + 3x + 6 – 2y + 10 – 21 = 0

5x + 3y – 5 = 0

5x + 3y = 5

2x + 3y = 6

 

 

Sumber 

Labels: Matematika

Thanks for reading Persamaan Garis Singgung Lingkaran. Please share...!