Persamaan Garis Singgung Lingkaran - 1

Rabu, 09 November 2022

(2)   Jika diketahui gradien garis singgungnya m

 

Misalkan g₁ dan g₂ adalah garis singgung lingkaran L ≡ (x – a)² + (y – b)² = r², yang diketahui gradiennya yakni m, maka persamaan g₁ dan g₂ dapat dicari dengan langkah sebagai berikut :

 

 

Misalkan g₁₂ ≡ y = mx + n, maka jika disubstitusikan ke persamaan lingkaran diperoleh :

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x – a)² + (mx + n – b)² = r²

x² – 2ax + a² + m²x² + n² + b² + 2mnx – 2bmx – 2bn – r² = 0

x² + m²x² – 2ax + 2mnx – 2bmx + a² + n² + b² – 2bn – r² = 0

(1 +m²)x² – 2(a – mn + bm)x + (a² + n² + b² – 2bn – r²) = 0

 

Syarat menyinggung adalah :

D = 0

Û    b² – 4ac = 0

Û    4(a – mn + bm)² – 4(1 + m²) (a² + n² + b² – 2bn – r²) = 0

Û    (a – mn + bm)² – (1 + m²) (a² + n² + b² – 2bn – r²) = 0

Û    a² + m²n² + b²m² – 2amn + 2abm – 2bm²n – a² – n² – b² + 2bn + r² – a²m² – m²n² – b²m² + 2bm²n  + m²r² = 0

Û    –2amn + 2abm – n² – b² + 2bn + r² – a²m² + m²r² = 0

Û    2amn – 2abm + n² + b² – 2bn – r² + a²m² – m²r² = 0

Û    (n² + a²m² + b² + 2amn – 2bn – 2abm) – r² (1 + m²) = 0

Û    (n + am – b)² = r² (1 + m²)

     

 

Jadi, persamaan garis singggung lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² dengan gradient m dapat dirumuskan sebagai berikut :

 

Untuk lingkaran dengan pusat O(0, 0) dapat diperoleh dengan mengambil a = 0 dan b = 0, sehingga diperoleh :

 

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:

 

1.    Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran (x + 1)² + (y – 3)² = 5 jika gradien garis singgungnya 2

 

Alternatif Pembahasan :

 

Lingkaran (x + 1)² + (y – 3)² = 5 dan m = 2

 

Sehingga :

     

Jadi garis singgungnya :        g₁ ≡ y = 2x + 5 + 5 diperoleh y = 2x + 10

g₂ ≡ y = 2x + 5 – 5 diperoleh y = 2x

 

2.    Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 4x – 10y + 19 = 0 jika gradien garis singgungnya –3

 

Alternatif Pembahasan :

 

Lingkaran x² + y² – 4x – 10y + 19 = 0

 

Maka :

    

Jadi garis singgungnya :        g₁ ≡ y = –3x + 11 + 10 diperoleh y = –3x + 21

g₂ ≡ y = –3x + 11 – 10 diperoleh y = –3x + 1

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Persamaan Garis Singgung Lingkaran - 1. Please share...!