Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran – 1

Senin, 07 November 2022

Jika M(x₁, y₁) titik diluar lingkaran serta a dan b adalah garis singgung lingkaran yang ditarik dari M maka :

M dinamakan titik polar

g dinamakan garis polar

 

 

Persamaan garis polar pada lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 yang ditarik dari titik M(x₁, y₁) dirumuskan :

Contoh soal:

 

1.     Tentukan persamaan garis polar terhadap lingkaran x² + y² – 8x + 6y + 9 = 0. Yang ditarik dari titik A (–2, 5)

 

Alternatif Pembahasan :

 

  

–2x + 5y – 4(x – 2) + 3(y + 5) + 9 = 0

–2x + 5y – 4x + 8 + 3y + 15 + 9 = 0

–6x + 8y + 32 = 0

3x – 4y = 16

 

2.     Jika titik T(1, 6) adalah titik polar dari lingkaran x² + y² + 2x – 19 = 0 dan g adalah garis polarnya, maka tentukanlah titik potong lingkaran dengan garis g

 

Alternatif Pembahasan :

 

x + 6y + (x + 1) + 0 – 19 = 0

2x + 6y = 18

x + 3y = 9

x = 9 – 3y

 

Disubstitusikan ke persamaan lingkaran diperoleh :

x² + y² + 2x – 19 = 0

(9 – 3y)² + y² + 2(9 – 3y) – 19 = 0

81 – 54y + 9y² + y² + 18 – 6y – 19 = 0

10y² – 60y + 80 = 0

y² – 6y + 8 = 0

(y – 4)(y – 2) = 0

y₁ = 4 dan y₂ = 2

 

Untuk y₁ = 4 maka x₁ = 9 – 3(4) = –3 titiknya (4, –3)

Untuk y₂ = 2 maka x₂ = 9 – 3(2) = 3 titiknya (2, 3).

 

Kedudukan garis g terhadap lingkaran L ditentukan oleh nilai diskriminan D = b² – 4ac, hasil dari substitusi persamaan lingkaran dan persamaan garis.

Ketentuannya :

1.     D > 0 garis g memotong lingkaran L di dua titik persekutuan

2.     D = 0 garis g menyinggung lingkaran L di satu titik

3.     D < 0 garis g di luar lingkaran L.

 

Sebagai contoh kedudukan garis y = 3x – 2 terhadap lingkaran x² + y² – 8x – 2y + 15 = 0 adalah berpotongan didua titik, karena memenuhi aturan:

x² + (3x – 2)² – 8x – 2(3x – 2) + 15

= x² + 9x² – 12x + 4 – 8x – 6x + 4 + 15

= 10x² + 4x – 16

= 5x² + 2x – 8

 

Tinjau D = 2² – 4(5)( –8) = 164 > 0

Karena D > 0 maka garis y = 3x – 2 memotong lingkaran lingkaran x² + y² – 8x – 2y + 15 = 0 di dua titik.

 

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:

 

1.     Tentukanlah kedudukan garis y = x – 2 terhadap lingkaran (x – 3)² + (y + 4)² = 9

 

Alternatif Pembahasan :

 

Lingkaran : (x – 3)² + (y + 4)² = 9

Garis : y = x – 2

 

Maka :    (x – 3)² + (x – 2 + 4)² = 9

(x – 3)² + (x + 2)² = 9

x² – 6x + 9 + x² + 4x + 4 = 9

2x² – 2x + 4 = 0

x² – x + 2 = 0

 

Tinjau D = b² – 4ac = (–1)² – 4(1)(2) = 1 – 8 = –7 < 0

Karena D < 0 maka garis berada di luar lingkaran.

 

2.     Garis g dengan gradien 2 membagi lingkaran x² + y² + 4x – 8y – 5 = 0 atas dua bagian yang sama. Tentukanlah persamaan garis g ?

 

Alternatif Pembahasan :

 

Karena garis g membagi lingkaran atas dua bagian yang sama, maka garis g melalui pusat lingkaran, sehingga :

x² + y² + 4x – 8y – 5 = 0

 

pusatnya di 

                       P(–2, 4)

 

Sehingga garis g :       y – y₁ = m_g (x – x₁)

y – 4 = 2(x – [–2])

y – 4 = 2x + 4

y = 2x + 8

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran – 1. Please share...!