Fungsi Distribusi Binomial

Sabtu, 31 Desember 2022

 

Eksperimen binomial adalah suatu eksperimen yang memberi hanya dua hasil yang mungkin, yakni “sukses” dan “gagal”. (ditemukan oleh James Bernoulli)
Variabel acak X adalah jumlah hasil sukses untuk n kali percobaan dalam eksperimen binomial.

Jika p adalah peluang sukses dan q adalah peluang gagal dalam setiap kali percobaan, maka berlaku :

p + q = 1

 

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

 

1.    Pada eksperimen melantunkan Sebuah dadu 4 kali, berapakah banyaknya kejadian 2 kali sukses munculnya mata dadu prima?

Alternatif Pembahasan :

 

Misalkan kejadian sukses = S dan kejadian gagal = G, maka untuk 4 kali percobaan diperoleh cacahan : {SSGG, SGSG, SGGS, GSGS, GGSS, GSSG}.

 

Jadi X = 6 kejadian.

 

2.    Pada eksperimen melantunkan Sebuah dadu 5 kali, x adalah variabel yang
menyatakan banyaknya kejadian sukses munculnya mata dadu 2 atau mata dadu 6. Tentukanakah :
(a) Banyaknya kejadian 3 kali sukses dalam eksperimen itu
(b) Peluang kejadian 3 kali sukses alam eksperimen itu
(c) Peluang kejadian 1 kali sukses alam eksperimen itu

Alternatif Pembahasan :

 

  

 

Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa dalam eksperimen binomial dengan
peluang sukses sebesar p dan peluang gagal sebesar q = 1 – p untuk setiap
percobaan, maka peluang x sukses dari n percobaan ulang dirumuskan :

P(X = x) = _nC_x . p^x . q^{n - x}

Bentuk P(X = x) diatas merupakan fungsi distribusi binomial.

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

 

3.    Sebuah eksperimen melantunkan dua dadu serentak 5 kali. Jika A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi tiga, maka tentukan peluang sukses 3 kali percobaan dalam eksperimen itu.

Alternatif Pembahasan :

 

Diketahui :       n = 5

x = 3

maka A = {12, 21, 15, 51, 42, 24, 33, 36, 63, 45, 54, 66} n(A) = 12 dan n(S) = 36.
Peluang sukses adalah


Peluang gagal adalah

Sehingga peluang sukses 3 kali percobaan dalam eksperimen itu adalah :

 

  

 

Dalam eksperimen binomial dengan n kali percobaan ulang dimungkinkan untuk mengetahui peluang sukses paling banyak r kali atau paling sedikit r kali, dimana r ≤ n, dengan menggunakan rumus :

P(X ≤ r) = P(X = 1) + P(X = 2) + … + P(X = r)
dan
P(X ≥ r) = P(X = r) + P(X = r + 1) + … + P(X = n)

 

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

 

4.    Suatu pasangan pengantin baru bermaksud memiliki enam anak. Jika keinginan mereka tewujud, maka tentukan peluang lebih banyak anak lelaki daripada anak perempuan yang mereka miliki

Alternatif Pembahasan :

 

Diketahui : Peluang sukses p = ½ dan peluang gagal q = 1 – (½) = ½
Misalkan X adalah banyaknya anak lelaki yang mereka miliki, maka :

 

  

 

Sehingga peluang mereka memiliki lebih banyak anak lelaki adalah :
Jadi P(X ≥ 4) = (15 + 6 +1) (½)⁶
P(X ≥ 4) = ¹¹/₃₂

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Fungsi Distribusi Binomial. Please share...!