Kegiatan Pembelajaran 1: Aturan Sinus

Rabu, 13 Desember 2023

A.   Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini kalian diharapkan:

A.   Mampu menjelaskan aturan sinus dengan benar

B.   Mampu menyelesaikan aturan sinus dengan benar

C.   Mampu menggunakan Aturan Sinus untuk menyelesaikan masalah kontekstual.

 

B.   Uraian Materi

Pada bahasan kali ini, kita akan menemukan rumus-rumus trigonometri yang berlaku pada sembarang segitiga. Dalam sebuah segitiga sembarang maka yang menjadi permasalahan utama adalah menentukan panjang sisi dan besar sudut segitiga. Jika hanya sebuah panjang sebuah segitiga diketahui, apakah kita dapat menentukan panjang sisi-sisi yang lainnya? Atau apakah kita dapat menentukanbesar sudutnya? Sebaliknya, jika hanya sebuah sudut segitiga yang diketahui, apakah kita dapat menentukan besar sudut-sudut yang lain dan panjang sisi-sisinya?

Pada materi sebelumnya kita telah mempelajari bahwa dalam sebuah segitiga sikusiku sembarang kita dapat menentukan perbandingan trigonometrinya. Dengan mudah kita dapat menetukan nilai sinus, Cosinus dan perbandingan trigonometri lainnya. Pertanyaan akan muncul bagaimana jika menggunakan konsep perbandingan trigonometri tersebut pada suatu segitiga sama kaki, segitiga sam asisi atau bahkan segitiga sembarang? Untuk menjawab pertanyaan tersebut maka ingatlah kembali konsep yang pernah kita ketahui sebelumnya terkait dengan garis tinggi dan garis berat sebuah segitiga sembarang.

Perhatikan gambar berikut:

Ingat kembali bahwa pada setiap segitiga sembarang, diperoleh bahwa garis tinggi adalah suatu garis yang dibentuk dari suatu sudut dan berpotongan tegak lurus dengan sisi dihadapannya. Maka pada gambar di atas diperoleh bahwa BD merupakan salah satu garis tinggi dari segitiga ABC. Sedangkan garis berat adalah suatu garis yang dibentuk dari suatu sudut dan memotong sisi dihadapannya menjadi dua bagian sama panjang. Maka pada gambar diatas, BE adalah garis berat segitiga ABC.

Perhatikan gambar dibawah ini!

Misalkan ABC adalah segitiga sembarang dengan panjang AB, BC dan AC masingmasing adalah c satuan, a satuan dan b satuan. Garia AE, BF dan CD masing-masing adalah garis tinggi segitiga ABC yang dibentuk dari ÐA, ÐB dan ÐC.

Perhatikan!

a.     Segitiga siku-siku ACD dengan AD ⊥ CD.
Maka dengan perbandingan trigonometri diperoleh bahwa:

CD = AC Sin A atau CD = b Sin A                  persamaan (1)

b.     Segitiga siku-siku BCD dengan BD ⊥ CD.     

Maka dengan perbandingan trigonometri diperoleh bahwa:

CD = BC Sin B atau CD = a Sin B                persamaan (2)

Dari persamaan (1) dan (2) maka diperoleh bahwa:
CD = b Sin A dan CD = a Sin B, maka b Sin A = a Sin B atau dapat dituliskan sebagai:
  

c.    Segitiga siku-siku ABE dengan AE ⊥ EB.
Maka dengan perbandingan trigonometri diperoleh bahwa:

AE = AB Sin B atau AE = c Sin B                   persamaan (4)     

d.     Segitiga siku-siku ACE dengan AE ⊥ CE

Maka dengan perbandingan trigonometri diperoleh bahwa:

AE = AC Sin C atau AE = b Sin C                  persamaan (5)

Dari persamaan (4) dan (5) maka diperoleh bahwa:
AE = c Sin B dan AE = b Sin C, maka c Sin B = b Sin C atau dapat dituliskan sebagai:


Berdasarkan persamaan (3) dan (6) maka diperoleh bahwa

Persamaan diatas disebut dengan Aturan Sinus

 

Contoh 1.

Diberikan segitiga sembarang ABC seperti pada gambar dibawah ini!

Tentukan panjang sisi AC?

Alternatif Penyelesaian:
Jika panjang sisi AB = c = 12 cm, dan sisi AC = b cm maka diperoleh bahwa:

Maka bentuk diatas akan menjadi:

Contoh 2.

Pada awalnya, Menara Pisa dibangun dengan ketinggian 56 m. Ternyata, tanah di lokasi pembangunan menara rentan akan kerapuhan, sehingga terjadi kemiringan. Pada jarak 44 m dari dasar menara diperoleh sudut elevasi 55°, tentukan derajat kemiringan menara dari posisi awalnya!

Alternatif Penyelesaian:

Permasalahan di atas dapat kita ilustrasikan seperti pada gambar dibawah ini!

Kita dapat menggunakan aturan sinus untuk menyelesaikan permasalahan di atas.
Dari ilustrasi di atas maka diperoleh bahwa:

Dengan menggunakan kalkulator, maka diperoleh bahwa ÐC = 40°.
Karena besar sudut dalam sebuah segitiga adalah 90° maka:
ÐC = 180° – (ÐB + ÐC) = 180° – 95° = 85°.
Sehingga kemiringan Menara Pisa = 90° – 85° = 5°.

Contoh 3.

Jalan K dan jalan L berpotongan di kota A. Dinas tata kota ingin untuk menghubungkan Kota B dengan Kota C dengan membangun jalan M yang memotong kedua jalan yang ada (seperti gambar dibawah).

Jarak antara Kota A dan Kota C adalah 5 km, dan sudut yang dibentuk oleh jalan M dan jalan L sebesar 75° sedangkan sudut yang dibentuk oleh jalan K dan jalan M adalah 30°. Tentukan jarak kota A dan Kota B!

Alternatif Penyelesaian:

Berdasarkan ilustrasi gambar di atas, maka buatlah garis tinggi segitiga ABC dari A.

Dengan menggunakan aturan segitiga, maka diperoleh bahwa:

Jadi jarak antara Kota A dan Kota B adalah 9,65 km.

C.  Rangkuman

Pada sembarang segitiga ABC dengan panjang masing-masing sisi adalah a, b dan c dan ÐA, ÐB dan ÐC maka berlaku Aturan Sinus sebagai berikut:

 

Sumber     

Labels: Matematika

Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 1: Aturan Sinus. Please share...!