Permutasi – 1

Kamis, 22 Desember 2022

Permutasi adalah proses pencacahan yang memperhatikan urutan atau formasi.
Sebagai contoh diketahui himpunan P = {a, b, c, d}. Jika anggota himpunan P tersebut disusun dua-dua maka diperoleh himpunan yang anggotanya sebanyak 12 buah, yakni {ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc}. Banyaknya anggota himpunan ini dapat pula ditentukan dengan aturan permutasi, yakni :
Jika n objek berlainan disusun r objek maka banyak susunannya dapat ditentukan dengan rumus :

 

Untuk soal diatas banyaknya anggota himpunan P adalah n = 4 dan disusun dua berarti r = 2, sehingga :

Jika yang disusun adalah seluruh anggota himpunan (n = r) maka banyaknya susunan dapat ditentukan dengan rumus :

 

Sebagai contoh empat buah roti yang berlainan akan disusun satu baris diatas meja, maka banyaknya susunan dapat ditententukan dengan cara :

P₄ = 4! = 24 cara

Jika diantara objek yang disusun ada objek-objek yang sama, maka banyaknya formasi susunan dapat ditentukan dengan aturan :

 

Dimana n₁, n₂, n₃, …, n_k adalah banyaknya masing-masing unsur yang sama.

 

Sebagai contoh banyaknya cara menyusun enam huruf dari huruf-huruf pada kata PANGAN adalah :

 

Sedangkan n objek berlainan disusun r objek dimana objek-objek tersebut boleh muncul berulang, maka banyaknya susunan yang dapat dibentuk dapat ditentukan dengan rumus:

_nP_r = n^r

Sebagai contoh dari anggota himpunan A = {p, q} disusun 6 objek dimana objek-objek tersebut boleh muncul berulang. Maka banyaknya susunan seluruhnya adalah :

₂P₆ = 2⁶ = 32 susunan

Jika n objek disusun n objek seluaruhnya, dimana formasi susunan dibuat melingkar (siklis) maka banyak susunan yang dapat dibentuk adalah

 

P_n = (n – 1)!

 

Sebagai contoh enam tangkai bunga yang berlainan disusun melingkar diatas meja, maka banyaknya cara menyusunnya adalah :

 

P₆ = (6 – 1)! = 5! = 120

 

Untuk lebih lengkapnya ikutilah contoh soal berikut ini :

 

1.    Tentukanlah banyaknya susunan tiga huruf dari huruf-huruf pada himpunan {a, b, c, d} dengan memperhatikan urutannya …

Alternatif Pembahasan :

 

n = 4 dan r = 3,

maka :

 

  

 

2.    Tentukanlah banyaknya susunan lima huruf dari huruf-huruf pada himpunan {p, q, r, s, t } jika urutannya diperhatikan …

Alternatif Pembahasan :

 

n = 5 dan r = 5, maka

maka :
P₅ = 5!

= 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 120

 

3.     Tentukanlah banyaknya susunan 9 huruf dari huruf-huruf pada kata
“BABILONIA”

Alternatif Pembahasan :

 

  

 

4.     Empat buah ubin merah, 3 ubin kuning dan 2 ubin hijau akan disusun berderet satu baris. Tentukanlah banyaknya cara menyusun kesembilan ubin tersebut

Alternatif Pembahasan :

 

  

 

5.     Empat buah kursi a, b, c dan d akan disusun mengelilingi sebuah meja.
Tentukanlah banyaknya susunan keempat kursi tersebut …

Alternatif Pembahasan :

 

n = 4, r = 4 dan formasi melingkar

maka :    P₄ = (4 – 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 susunan

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Permutasi – 1. Please share...!