Bangun-Bangun Pada Geometri Bidang

Minggu, 22 Januari 2023

A.   Bangun-bangun pada Geometri Bidang

 

Sebelum lebih jauh membahas bangun-bangun pada geometri bidang, akan diuraikan dulu pengertian titik, garis dan bidang dalam konsep geometri.
Titik dapat dibayangkan seperti bola yang semakin mengecil sehingga jari-jarinya nol.

Titik dinyatakan dengan satu huruf besar (misalnya A, B, C dan sebagainya), dan karena tidak memiliki ukuran maka titik dikatakan berdimensi nol.
Garis dapat dibayangkan sebagai jejak titik yang bergerak lurus memanjang ke dua arah. Garis dinotasikan dengan huruf non-kapital (misalnya g, h, l dan sebagainya).

Bidang dapat dibayangkan sebagai jejak garis yang bergerak menyamping tampa mengubah arah garis. Bidang meluas ke segala arah tanpa batas.
Selanjutnya akan dijelaskan beberapa definisi yang berhubungan dengan titik, garis dan bidang, yakni:

 

1.     Ruas garis (segmen).

Ruas garis AB merupakan himpunan titik A, B dan semua titik diantara A dan B yang kolinier dengan garis melalui kedua titik tersebut.

 

2.     Sinar (Ray).

 

Sinar AB merupakan himpunan semua titik pada ruas garis AB dan semua titik X yang segaris dengan A dan B sedemikian hingga B terletak diantara A dan X. Selanjutnya A dinamakan sebagai titik pangkal.

 

3.     Sudut

Sudut adalah gabungan dua sinar yang bersekutu dititik pangkalnya. Dua sinar ini dinamakan kaki sudut, sedangkan titik pangkal persekutuan dinamakan sebagai titik sudut.

 

Setelah mengetahui konsep-konsep dasar dalam geometri, berikut akan diuraikan konsep bangun geometri pada bidang.
Pada geometri bidang, bangun segibanyak (poligon) merupakan bangun datar tertutup yang sisi-sisinya berupa ruas garis, dan setiap ruas garis hanya berpotongan pada ujung-ujungnya.

 

Pada ilustrasi di atas, gambar 1, 2, 3 dan 4 merupakan poligon. Gambar 1 dan 2
disebut poligon konveks. Suatu bangun geometri dikatakan konveks jika setiap
mengambil dua titik didalam poligon, maka seluruh ruas garis yang menghubungkannya berada di dalam bangun tersebut. Sementara itu gambar 3 dan 4 merupakan polygon konkaf. Dikatakan konkaf jika ada dua titik di dalam bangun, yang jika dihubungkan, maka terdapat bagian ruas garis yang berada di luar bangun. Gambar 5 dan 6 bukan poligon karena memiliki sisi yang bukan ruas garis.

Pada bab ini akan diuraikan lebih lanjut beberapa bangun dalam geometri bidang, yakni segi tiga, segi empat dan lingkaran.

 

1.     Segi tiga

 

Segitiga adalah polygon dengan tiga sisi (dilambangkan dengan ∆) dan merupakan gabungan tiga ruas garis yang ujung-ujungnya ditentukan oleh tiga titik tidak segaris.

Ruas-ruas garis tersebut dinamakan sebagai sisi, sedangkan ketiga ujungnya
dinamakan sebagai titik sudut.
Ketiga sisi pada segitiga tersebut harus memenuhi syarat ketaksamaan segitiga, yakni: Jika a, b dan c adalah sisi-sisi pada segitiga ABC, maka haruslah berlaku:
a + b > c dan a + c > b dan b + c > a.

Berdasarkan besar sudutnya, segitiga dibagi menjadi 3 jenis, yaitu :

(1)  Segitiga lancip, yakni segitiga yang semua sudutnya kurang dari 90°

(2)  Segitiga siku-siku yakni segitiga yang salah satu sudutnya 90°

(3)  Segitiga tumpul yakni segitiga yang salah satu sudutnya lebih dari 90°.

Berdasarkan panjang sisinya, segitiga dibedakan menjadi :

(1)  Segitiga samakaki yakni segitiga yang dua sisinya sama panjang

(2)  Segitiga samasisi yakni segitiga yang dua sisinya sama panjang

(3)  Segitiga sembarang, yakni segitiga yang sisi-sisinya tidak ada yang sama
panjang.

Dua segitiga dikatakan kongruen (dilambangkan dengan @) jika segitiga yang satu dapat dihimpitkan dengan yang lain dengan tepat.
Pada gambar disamping ∆ABC @ ∆PQR, jika kondisi berikut dipenuhi:
ÐA = ÐP, ÐB = ÐQ dan ÐC = ÐR
AB = PQ, BC = QR dan CA = RP

Dapat juga dikatakan, dua segitiga kongruen jika keenam unsur segitiga pertama
kongruen dengan enam unsur yang bersesuaian pada segitiga yang kedua.

Beberapa dalil dalam segitiga dapat diuraikan sebagai berikut :

Dalil 1

Dua segitiga kongruen jika ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang

Contoh untuk dalil ini adalah:

Pada gambar berikut, AB dan CD saling membagi dua sama panjang di titik M. Jika AC = DB buktikan bahwa ∆AMC @ ∆DMB.

 

Bukti:
Diketahui AB dan CD saling membagi dua sama panjang di M maka AM = BM dan CM = DM. Sementara itu diketahui bahwa AC = BD. Dengan demikian
berdasarkan postulat I kekongruenan, karena ketiga sisi yang bersesuaian sama
panjang maka terbukti bahwa ∆AMC @ ∆DMB.

Dalil 2.

 

Jika dua sisi dan sebuah sudut di antara keduanya pada suatu segitiga sama
dengan dua sisi dan sudut di antaranya pada segitiga yang lain, maka kedua
segitiga tersebut kongruen

Contoh untuk dalil ini adalah pada segitiga ABC disamping, dimana BM
tegak lurus AC, dan M titik tengah AC. Maka ∆AMB @ ∆CMB.

Bukti contoh ini adalah:

Diketahui M titik tengah AC, sehingga AM = CM dan AC tegak lurus BM.
sehingga ÐAMB = ÐCMB = 90°.
Perhatikan segitiga AMB dan CMB, sisi MB digunakan pada kedua segitiga,
sehingga MB = MB. Dari kedua segitiga di atas dipenuhi AM = CM, ÐAMB = ÐCMB, MB = MB sehingga, menurut dalil kekongruenan diatas terbukti bahwa ∆AMB @ ∆CMB.

Dalil 3.

Jika dua sudut dan satu sisi di antara dua sudut pada suatu segitiga sama dengan dua sudut dan satu sisi di antara dua sudut pada segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.

Contoh untuk dalil ini adalah pada gambar segitiga ABC dan segitiga PQR diatas, dimana ÐA = ÐP, ÐC = ÐQ dan sisi AC = PQ maka berdasarkan dalil diatas berlaku ∆ABC @ ∆PQR.

Dua segitiga ABC dan PQR dikatakan sebangun (dilambangkan ∆ABC ~ ∆PQR), jika ketiga sudut yang bersesuaian sama besar. Pada gambar dua segitiga dibawah ini berlaku : ÐA = ÐP, ÐB = ÐQ dan ÐC = ÐR. Sehingga ∆ABC ~ ∆PQR.

Suatu konsep yang berkaitan erat dengan kesebangunan adalah proporsi. Sifat
proporsional pada segitiga ditunjukkan dengan dalil berikut ini.

Dalil 4.

Suatu garis yang sejajar salah satu sisi segitiga dan memotong dua sisi yang lain membagi sisi-sisi tersebut secara proporsional.

Pada sebuah segitiga ABC, ditarik garis PQ sejajar AC. Jika garis PQ membagi BA dan BC sehingga panjang ruas garis yang bersesuaian pada setiap sisi
memiliki perbandingan yang sama, yakni :

Selanjutnya akan dijelaskan garis-garis istimewa dalam segitiga, yakni garis sumbu, garis tinggi, garis berat dan garis bagi yakni sebagai berikut :

 

a.     Garis sumbu suatu segitiga

Garis sumbu segitiga merupakan garis bagi tegak lurus setiap sisi
segitiga tersebut.
Ketiga garis sumbu berpotongan di satu titik.

 

b.     Garis tinggi suatu segitiga

Garis tinggi suatu segitiga merupakan garis yang melalui suatu titik sudut dan tegak lurus terhadap garis yang memuat sisi di depan sudut tersebut. Karena segitiga memiliki tiga titik sudut yang dapat dianggap sebagai puncak maka garis tinggi segitiga ada tiga buah.
Garis-garis tinggi suatu segitiga berpotongan di satu titik, yang disebut sebagai orthocenter.

 

c.      Garis berat suatu segitiga

 

Garis berat adalah garis yang melalui titik sudut segitiga dan titik tengah sisi
di depannya. Karena segitiga memiliki tiga sudut, maka terdapat tiga garis
berat dalam sebuah segitiga. Ketiga garis berat ini berpotongan di satu titik
yang disebut sebagai titik berat (centroid). Titik berat ini merupakan
pusat kesetimbangan segitiga.
Jika sebuah segitiga digantungkan tepat pada titik beratnya, maka segitiga tersebut akan berada pada posisi horisontal.

 

d.     Garis bagi sudut suatu segitiga

 

Garis bagi sudut segitiga adalah garis yang membagi sudut dalam suatu
segitiga sehingga menjadi dua bagian yang sama besar.
Terdapat tiga garis bagi sudut suatu segitiga. Garis bagi sudut segitiga
berpotongan di satu titik yang disebut incenter segitiga.
Titik ini merupakan titik pusat lingkaran dalam segitiga (lingkaran di dalam segitiga yang menyinggung semua sisinya).

 

Berikut ini akan diberikan beberapa contoh soal yang berkaitan dengan segi-tiga
dan segi-empat yakni sebagai berikut:

 

1.      Diketahui besar sudut-sudut sebuah segitiga dalam x yaitu (3x – 7)°, (2x + 7)°, dan (5x)°. Apakah jenis segitiga tersebut?

Alternatif Pembahasan :

 

(3x – 7)° + (2x + 7)° + (5x)°= 180°
10x = 180°
x = 18°

Sehingga diperoleh :  (3(18) – 7)° = 47°
(2(18) + 7)° = 43°
(5(18)° = 90°

 

Jadi sudut-sudutnya 47°, 43° dan 90°

 

Segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku..

 

2.      Suatu segitiga memiliki panjang sisi 24, n dan 2n dengan n bilangan asli.
Tentukan nilai-nilai n yang mungkin …

Alternatif Pembahasan :

 

Menurut teori ketaksamaan segitiga maka untuk n bilangan asli berlaku
24 + n > 2n maka n < 24   … (1)
25 + 2n > n maka n > –24 … (2)
2n + n > 24 maka n > 8     … (3)

Jadi nilai n yang mungkin adalah 8 < n < 24 untuk n bilangan asli.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Bangun-Bangun Pada Geometri Bidang. Please share...!