Dalam pemodelan matematika masalah produksi ban PT. Samba Lababan, kalian akan mencari nilai x dan y sedemikian sehingga f(x, y) = 40.000x + 30.000y maksimum.
Bentuk
umum dari fungsi tersebut adalah f(x, y) = ax + by.
Suatu fungsi yang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum). Fungsi ini disebut
fungsi objektif. Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif ini, kalian dapat
menggunakan dua metode, yaitu metode uji titik pojok dan metode garis selidik.
C. 1. Metode Uji Titik Pojok
Untuk
menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode uji titik
pojok, lakukanlah langkah-langkah berikut.
a. Gambarlah
daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut.
b. Tentukan
titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu.
c. Substitusikan
koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.
d. Bandingkan
nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai
maksimum dari fungsi f(x, y), sedangkan nilai terkecil
berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsi f(x, y).
Sebagai contoh, kalian akan memaksimumkan keuntungan PT. Samba Lababan dari produksi ban dengan model matematika f(x, y) = 40.000x + 30.000y.
Perhatikan daerah penyelesaian dari grafik pada gambar di
atas.
a. Titik-titik pojoknya adalah titik O, A, B, C, dan D.
• Titik O adalah titik pusat koordinat. Jadi, titik O(0,0).
•
Titik
A adalah titik potong antara garis x = 80 dan sumbu-x.
Jadi,
titik A(80, 0).
•
Titik
B adalah titik potong antara garis x = 80 dan garis
8x
+ 4y = 800.
Substitusi
x = 80 ke persamaan 8x + 4y = 800
8 ⋅ 80 + 4y = 800
y = 40
Jadi,
titik B(80, 40).
• Titik
C adalah titik potong antara garis 8x + 4y = 800 dan 2x
+ 5y = 800.
Dari 8x
+ 4y 800 didapat y = 200 – 2x.
Substitusi
nilai y ke persamaan 2x + 5y = 800
2x + 5(200 – 2x) = 800
2x + 1000 – 10x = 800
–8x = –200
x = 25
Substitusi
x = 25 ke persamaan y = 200
– 2x
y = 200 2 · 25
y = 150
Jadi,
titik C(25, 150).
• Titik
D adalah titik potong antara garis 2x + 5y = 800 dan
sumbu-y.
Substitusi
x = 0 ke persamaan 2x + 5y = 800
2 · 0 +
5y = 800
5y = 800
y = 160
Jadi,
titik D(0, 160)
b. Uji
titik-titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 40.000x +
30.000y, sehingga fungsi objektif ini maksimum
Dari tabel tersebut dapat diperoleh nilai maksimum fungsi
objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y adalah f(25, 150)
5.500.000. Jadi, PT. Samba Lababan harus memproduksi 25 ban motor dan 150 ban sepeda
untuk memperoleh keuntungan maksimum.
Untuk
menentukan nilai minimum dilakukan langkah yang sama. Lebih jelasnya,
perhatikan contoh berikut ini.
Contoh
Tentukan nilai minimum fungsi objektif f(x, y)
= 2x + 10y yang memenuhi x + 2y ≥ 10, 3x + y
≥ 15, x ≥ 0, dan y ≥ 0.
Alternatif Pembahasan :
a. Titik-titik pojoknya adalah titik A, B, dan C.
• Titik A adalah titik potong garis x + 2y = 10 dengan sumbu-x.
Substitusi
y = 0 ke persamaan x + 2y = 10.
x + 2y = 10
x +
2 · 0 = 10
x = 10
Jadi,
titik A(0, 10).
• Titik
B adalah titik potong garis x + 2y = 10 dengan garis 3x
+ y = 15
Dari x
+ 2y = 10 diperoleh x = 10 – 2y.
Substitusi
nilai x ke persamaan 3x + y = 15
3x + y = 15
3(10 – 2y) + y = 15
30 – 6y + y
= 15
30 – 5y = 15
5y = 30 – 15
5y = 15
y = 3
Substitusi
nilai y = 3 ke persamaan x = 10 – 2y
x = 10 – 2y
= 10 – 2 · 3
= 10 – 6
= 4
Jadi,
titik B(4, 3).
•
Titik
C adalah titik potong garis 3x + y = 15 dengan sumbu-y.
Substitusi
x = 0 ke persamaan 3x + y = 15.
3x + y = 15
3 · 0 + y = 15
y = 15
Jadi,
titik C(0, 15).
b.
Uji
titik-titik pojok
Dari
tabel diperoleh nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 2x
+ 10y adalah f(10, 0) = 20.
Sumber
Thanks for reading Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif. Please share...!
