Notasi Sigma dan Induksi Matematika – 1

Kamis, 07 September 2023

Pada contoh nomor 2, kalian menyatakan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n². Adapun pada contoh nomor 3, kalian menyatakan bahwa jumlah n bilangan kuadrat pertama adalah n(n + 1)(2n + 1). Apakah rumus yang kalian tuliskan tersebut benar?

Untuk membuktikannya, kalian dapat menggunakan induksi matematika yang telah kalian pelajari di kelas X. Langkah-langkah pembuktian tersebut adalah sebagai berikut.

a.     Buktikan rumus tersebut berlaku untuk n = 1.

b.     Misalkan rumus tersebut berlaku untuk n = k,

c.      Buktikanlah bahwa rumus tersebut berlaku juga untuk n = k + 1.

Dengan induksi matematika ini, kalian dapat membuktikan contoh nomor 2 dan contoh nomor 3.
Akan dibuktikan 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n²
Misalkan, P(n) = 2n – 1
Untuk n – 1, P(1) = 2 · 1 – 1 = 1
Jadi, untuk n = 1, rumus berlaku sebab ruas kiri dan ruas kanan persamaan menghasilkan bilangan yang sama, yaitu 1.
Misalkan rumus berlaku untuk n k, maka 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = k².

Selidiki, apakah rumus berlaku untuk n = k + 1?
Untuk n = k + 1, pada ruas kiri didapat,

Pada ruas kanan persamaan, didapat (k + 1)².
Jadi, untuk n = k + 1, ruas kiri dan ruas kanan persamaan menghasilkan bilangan yang sama, yaitu (k + 1)².
Dengan demikian, 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n² berlaku untuk n = k dan untuk n = k + 1, sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n² berlaku untuk semua n bilangan asli.

Sekarang, akan dibuktikan 1 + 4 + 9 + 16 + … + n² = ½ n(n + 1)(2n + 1).

Misalkan P(n) = n².
Untuk n = 1, pada ruas kiri persamaan P(1) = 1² = 1.

Pada ruas kanan didapat .

Jadi, untuk n 1 rumus berlaku, sebab ruas kiri dan ruas persamaan menghasilkan bilangan yang sama, yaitu 1.
Misalkan rumus tersebut berlaku untuk n = k, maka .

Selidiki, apakah rumus berlaku untuk n = k + 1?
Untuk n = k + 1, didapat ruas kiri persamaan,

Pada ruas kanan persamaan, juga didapat .

Jadi, untuk n = k + 1, ruas kiri dan ruas kanan persamaan menghasilkan bilangan yang sama, yaitu (k + 1)(k + 2)(2k + 3).

Dengan demikian,  berlaku
untuk n = k dan untuk n = k + 1 sehingga kalian dapat membuat kesimpulan bahwa di mana n adalah bilangan asli.
Berikut ini adalah sifat-sifat notasi sigma.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Notasi Sigma dan Induksi Matematika – 1. Please share...!