b. Metode Garis Selidik
Cara lain yang sering dipakai untuk menentukan nilai optimum suatu bentuk objektif adalah menggunakan garis selidik. Garis selidik adalah himpunan garis garis sejajar yang dibuat melalui titik-titik sudut daerah himpunan penyelesaian dengan tijuan untuk menyelidiki dan menentukan nilai maksimum dan minimum. Bentuk umum persamaan garis selidik dari bentuk objektif f(x,y) = ax + by adalah Z = ax + by = k untuk k ϵ R.
Contoh 1
Tentukan nilai maximum dari 2x + 3y, x, y ϵ R. yang memenuhi system pertidaksamaan x + y ≤ 3, x + 2y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 dengan garis selidik!
Alternatif Penyelesaian:
Buat garis 2x + 3y = 0, kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis 2x + 3y = 0 yang melalui setiap titik-titik sudut yaitu 2x + 3y = 6 dan 2x + 3y = 7. Titik sudut yang paling kanan (terakhir) disentuh oleh garis selidik adalah merupakan nilai optimum. Sehingga nilai maksimumnya = 7 untuk x = 2 dan y = 1.
Contoh 2
Gambar daerah HP dari sistem pertidaksamaan x + y ≥ 6 ; 2x + y ≥ 3; 1 ≤ x ≤ 4, y ≥ 0 ; x, y ∈ R. Tentukan nilai optimum 2x + 4y dengan garis selidik!
Alternatif Penyelesaian:
Garis x + y = 6
Garis 2x + 4y = 3
Garis 2x + 4y = 0
Titik titik sudut :
A. (3/2, 0)
B. (4,0)
C. (x,y) untuk x =4 dan y = 2
x + y = 6 maka C (4,2 )
D. (x,y) untuk x = 1 dan y = 5
x + y = 6 maka D (1,5)
E. (x, y) untuk x = 1 dan y = 1
2x + y = 3 maka E (1,1)
c. Menyelesaikan Permasalahan Program Linier
Langkah-langkah untuk menyelesaikan soal program Linier adalah sebagai berikut:
a. Ubahlah soalnya ke dalam bahasa matematika dan buatlah model matematika yang terdiri atas sistem pertidaksamaan, dan fungsi objektif ax + by yang harus
dimaksimumkan atau diminimumkan.
b. Gambar daerah himpunan penyelesaian pada diagram cartesius
c. Menetukan titik titik sudut daerah Himpunan Penyelesaian kemudian menentukan nilai optimumnya baik dengan tabel maupun dengan garis selidik.
Contoh
Seorang pedagang sepatu merencanakan akan menbeli tidak lebih dari 100 pasang sepatu wanita dan pria untuk di jual. Harga beli sepasang sepatu pria Rp 20.000 dan sepasang sepatu wanita Rp.30.000. Modal yang tersedia Rp.2.400.000. Keuntungan untuk sepasang sepatu pria Rp. 4.000 dan sepasang sepatu wanita Rp. 5.000.
a. Buatlah model matematikanya!
b. Gambar daerah himpunan penyelesaiannya!
c. Berapa pasang masing-masing jenis yang harus dibeli dan dijual agar diperoleh keuntungan maksimum?
d. Berapa keuntungan maksimumnya?
Alternatif Penyelesaian:
a. Model Matematika
Misal:
Sepatu pria = x
Sepatu wanita = y
Model matematikanya
Bentuk objektif: F(x,y) = 4.000x + 5.000y
Kendala/Syarat :
x + y ≤100 ... (i)
20.000x + 300.000y ≤ 2.400.000
(kedua ruas dibagi dengan 10.000)
2x + 3y ≤ 240 … (ii)
x ≥ 0 … (iii)
y ≥ 0 … (iv)
b. Gambar daerah himpunan penyelesaiannya
Menggambar garis x + y = 100
Petunjuk: untuk membuat garis x + y = 100, buatlah dua titik bantu dengan cara
mengambil nilai x = 0 maka y =... dan nilai y = 0 maka x = …
Lihat tabel berikut :
Jadi titik bantunya adalah (0,100) dan (100,0), selanjutnya gambarkan di bidang
Cartesius.
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaiannya uji salah satu titik yang tidak terletak pada garis x + y = 100, Misal titik (0,0) → artinya nilai x = 0 dan y = 0, substitusi ke 𝑥 + 𝑦 ≤ 100 maka (0) + (0) ≤ 100 → 0 ≤ 100 (Benar), maka daerah himpunan penyelesaiannya di bawah garis 𝑥 + 𝑦 = 100, dan arsirlah daerah yang bukan daerah penyelesaiannya.
Menggambar garis 2x + 3y = 240
Petunjuk: untuk membuat garis x + y = 100, buatlah dua titik bantu dengan cara mengambil nilai x = 0 maka y =... dan nilai y = 0 maka x = …
Lihat table berikut:
Jadi titik bantunya adalah (0, 80) dan (120,0), selanjutnya gambarkan di bidang Cartesius.
Untuk menentukan Daerah Himpunan Penyelesaiannya Uji salah satu titik yang tidak terletak pada garis 2x + 3y = 240, Misal titik (0,0) → artinya nilai x = 0 dan y = 0, substitusi ke 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 240 maka 2(0) + 3(0) ≤ 240 → 0 ≤ 240 (Benar), maka daerah Himpunan Penyelesaiannya di bawah garis 2𝑥 + 3𝑦 = 240, dan arsirlah daerah yang bukan daerah penyelesaiannya.
c. Berapa pasang masing-masing jenis yang harus dibeli dan dijual agar diperoleh keuntungan maksimum.
Berdasarkan gambar di atas, maka titik-titik sudut nya adalah : Titik O(0,0), titik A (100,0), titik C (0,80) dan titik B yang diperoleh dari titik potong garis x + y = 100 dengan garis 2x + 3y = 240, untuk mencari titik B gunakan oleh kalian metode elemninasi dan substitusi.
Substitusi nilai x = 60 ke persamaan x + y = 100 sehingga diperoleh 60 + y = 100, maka nilai y = 100 – 60 = 40, jadi titik B adalah (60, 40) untuk memperoleh nilai maksimum lakukan uji titik sudut terhadap fungsi obyektif f(x,y) = 4.000x + 5.000y.
Titik O(0,0) maka f(0,0) = 4.000(0) + 5.000(0) = 0 + 0 = 0
Titik A(100,0) maka f(100,0) = 4.000(100) + 5.000(0) = 400.000 + 0 = 400.000
Titik B (60,40) maka f(60,40) = 4.000(60) + 5.000(40) = 240.000 + 200.000 = 440.000
Titik C(0,80) maka f(0,80) = 4.000(0) + 5.000(80) = 0 + 400.000 = 400.000
Berdasarkan hasil uji titik tersebut, maka kalian dapat melihat nilai maksimumnya adalah Rp.440.000,00 yang diperoleh dari nilai x = 60 dan nilai y = 40.
Kesimpulannya adalah banyak sepatu pria (x) = 60, dan sepatu wanita (y) = 40
d. Berapakah keuntungan maksimum yang diperoleh keuntungan maksimumnya adalah Rp.440.000,00.
C. Rangkuman
1. Daerah himpunan penyelesaian PtLDV dapat ditentukan berada di kanan atau kiri garis pembatas dengan cara memperhatikan tanda ketaksamaan. Berikut ini langkahlangkahnya:
2. Program Linier adalah suatu program untuk menyelesaikan permasalahan yang batasanbatasannya berbentuk pertidaksamaan linier.
3. Model matematika adalah adalah suatu hasil interpretasi manusia dalam menerjemahkan atau merumuskan persoalan sehari-hari ke dalam bentuk matematika, sehingga persoalan itu dapat diselesaikan secara sistematis.
4. Langkah-langkah untuk menyelesaikan soal program Linier adalah sebagai berikut:
a. Ubahlah soalnya ke dalam bahsa matematika dan buatlah model matematika untuk syarat/Kendal, yang terdiri atas sistem pertidaksamaan.
b. Buatlah fungsi objektiff(x,y) = ax + by yang akan dioptimumkan (dimaksimumkan atau diminimumkan)
c. Gambarkan Daerah Himpunan Penyelesaiannya dari masing-masing syarat/kendala.
d. Tentukan titik titik sudut daerah Himpunan Penyelesaian,
e. Tentukan nilai optimumnya baik dengan table (uji titik) maupun dengan garis selidik.
f. Buatlah kesimpulan umumnya.
“Pue Mantong”
Thanks for reading Metode Garis Selidik. Please share...!
