Latihan Essay Program Linier dan Model Matematika

Rabu, 14 Februari 2024

Kerjakan semua soal di bawah ini di kertas, kemudian cocokkan dengan alternatif penyelesaiannya!

1.     Perhatikan gambar grafik di bawah ini:

Tentukanlah nilai minimum yang memenuhi fungsi obyektif f(x,y) = 5x + 3y

Alternatif Penyelesaian:

Terlebih dahulu cari titik A:
4𝑥 + ≤ 4           … (1)
𝑥 + 𝑦 ≥ 2          … (2)
Titik A merupakan titik potong antara garis 4x + y = 4 dengan garis x = y = 2, dengan menggunakan metode gabungan, akan diperoleh:
Dengan metode eleminasi
4x + y = 4
  x + y = 2 -
      3x = 2
        x = ⅔
substitusi nilai x = ⅔ ke persamaan 4x + y = 4, sehingga 4(⅔) + y = 4
⁸/₃ + y = 4
       y = 4 – ⁸/₃
        y = ¹²/₃ – ⁸/₃
        y = ⁴/₃
jadi titik potongnya (⅔ , ⁴/₃)
selanjutnya kalian tentukan nilai minimum dari fungsi obyektif f(x,y) = 5x + 3y

⦁        titik (0,2) maka f(0,2) = 5(0) + 3(2) = 0 + 6 = 6

⦁        titik (2,0) maka f(2,0) = 5(2) + 3(0) = 10 + 0 = 10

⦁        titik (⅔ , ⁴/₃) maka f(⅔ , ⁴/₃) = 5(⅔) + 3(⁴/₃) = ¹⁰/₃ + ¹²/₃ = ²²/₃ dari hasil uji titik di atas maka akan kalian lihat nilai minimumnya yaitu 6.

2.    Seorang tukang las membuat dua jenis pagar. Tiap meter persegi jenis 1 memerlukan 4 meter besi pipa dan 6 meter besi beton. Adapun pagar jenis 2 memerlukan 8 meter besi pipa dan 4 meter besi beton. Tukang las tersebut mempunyai persediaan 640 meter besi pipa dan 480 meter besi beton. Harga jual per meter persegi jenis 1 Rp50.000,- dan harga jual per meter persegi pagar jenis 2 adalah Rp 75.000,-. Buatlah model matematika dari permasalahan Linier tersebut agar hasil penjualannya mencapai nilai maksimum!

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan:
x = banyaknya pagar jenis 1
y = banyaknya pagar jenis 2
funsi Obyektif f(x,y) = 50.000x + 75.000y

 

Kendala/Syarat:

i.      4𝑥 + 8𝑦 ≤ 640     (kedua ruas dibagi dengan 4)
𝑥 + 2𝑦 ≤ 160

ii.    6𝑥 + 4𝑦 ≤ 480     (kedua ruas dibagi 2)
3𝑥 + 2𝑦 ≤ 240

iii.  𝑥 ≥ 0

iv.  𝑦 ≥ 0

 

3.     Sebuah perusahaan bangunan merencanakan membangun rumah untuk disewakan kepada 540 orang. Banyak rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 120 unit. Terdapat 2 jenis rumah yang akan disewakan. Rumah tipe I dengan jumlah penghuni 4 orang dan biaya sewa Rp 270.000/bulan. Rumah tipe Iidengan jumlah penghuni 6 orang dan biaya sewa Rp 360.000/bulan. Jika perusahaan membangun tipe rumah I sebanyak x buah dan tipe II y buah.
Sedangkan pendapatan pembangunan tersebut adalah f, berapakah pendapatan maksimum yang akan diperoleh perusahaan tersebut?

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan:
x = banyaknya rumah tipe I
y = banyaknya rumah tipe II

Kendala/Syarat :

i.       x + y ≤ 120

ii.     4𝑥 + 6𝑦 ≤ 540 (kedua ruas dibagi dengan 2)

2𝑥 + 3𝑦 ≤ 270

iii.  𝑥 ≥ 0

iv.  𝑦 ≥ 0

a.     Gambar garis x + y = 120
Petunjuk: untuk membuat garis x + y = 120, buatlah dua titik bantu dengan cara mengambil nilai x = 0 maka y =... dan nilai y = 0 maka x =…
Lihat table berikut:

Jadi titik bantunya adalah (0, 100) dan (100,0), selanjutnya gambarkan di bidang Cartesius.
Untuk menentukan Daerah Himpunan Penyelesaiannya Uji salah satu titik yang tidak terletak pada garis x + y = 100, Misal titik (0,0) → artinya nilai x = 0 dan y = 0, substitusi ke 𝑥 + 𝑦 ≤ 100 maka (0) + (0) ≤ 100 → 0 ≤ 100 (Benar), maka daerah Himpunan Penyelesaiannya di bawah garis 𝑥 + 𝑦 = 100, dan arsirlah daerah yang bukan daerah penyelesaiannya.

 

b.     Gambar garis 2x + 3 y = 270
Petunjuk: untuk membuat garis 2x + 3y = 270, buatlah dua titik bantu dengan cara mengambil nilai x = 0 maka y =... dan nilai y = 0 maka x =…
Lihat table berikut:

Jadi titik bantunya adalah (0, 90) dan (135,0), selanjutnya gambarkan di bidang Cartesius.

Untuk menentukan Daerah Himpunan Penyelesaiannya Uji salah satu titik yang tidak terletak pada garis 2x + 3y = 270, Misal titik (0,0) → artinya nilai x = 0 dan y = 0, substitusi ke 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 270 maka 2(0) + 3(0) ≤ 270 → 0 + 0 ≤ 270 (Benar), maka daerah Himpunan Penyelesaiannya di bawah garis 2𝑥 + 3𝑦 = 270, dan arsirlah daerah yang bukan daerah penyelesaiannya.

c.      Gambar garis 𝑥 ≥ 0

d.     Gambar garis y ≥ 0

Gambar Garfik Cartesiusnya

Titik sudut daerah Himpunan Penyelesaian:

⦁        Titik O(0,0)

⦁        Titik A(120,0)

·        Titik C (0,90)

⦁        Titik B adalah titik potong antara garis x + y = 120 dan garis 2x + 3y = 270, dengan menggunakan metode eleminasi dan substitusi, harus kalian cari titik potongnya.

Metode eleminasi

Substitusikan nilai x = 90 ke persamaan x + y = 120, sehingga diperoleh:

 90 + y = 120,
         y = 120 – 90
         y = 30
Jadi titik potongnya adalah (90, 30).

Untuk memperoleh nilai maksimum selanjutnya kalian lakukan uji titik sudut ke funsi obyektif f(x,y) = 270.000x + 360.000y

⦁        Titik O (0,0) maka f(0,0) = 270.000(0) + 360.000(0)

        = 0 + 0

        = 0

⦁        Titik A (120,0) maka :

         f(120,0) = 270.000(120) + 360.000(0)

= 3.240.000 + 0

                            = 3.240.000

⦁        Titik B (90,30) maka f(90,30) = 270.000(90) + 360.000(30)

     = 2.430.000 + 1.08.000

     = 3.510.000

⦁        Titik C(0,90) maka f(0,90) = 270.000(0) + 360.000(90)

                                         = 0 + 3.240.000

= 3.240.000

berdasarkan dari hasil uji titik tersebut, selanjutnya kalian tentukan nilai maksimumnya, dan diperoleh 3.520.000.

Kesimpulannya keutungan maksimum yan diperoleh sebesar Rp. 3.520.000,-. dengan menyewakan sebanyak 90 rumah type I (x) dan 30 rumah type II (y).

 

 “Pue Mantong”

Labels: Matematika

Thanks for reading Latihan Essay Program Linier dan Model Matematika. Please share...!