Kegiatan Pembelajaran 2: Program Linier Dan Model Matematika

Senin, 12 Februari 2024

 

A.   Tujuan Pembelajaran

Tujuan pada kegiatan pembelajaran 2 ini supaya siswa mampu:

1.   Membuat model matematika soal yang berkaitan dengan program linier;

2.   Menentukan daerah penyelesaian program linier;

3.   Menentukan nilai optimum masalah program linier yang berkaitan dengan maslaha kontekstual sehari-hari.

 

B.   Uraian Materi

Program Linier adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan Linier. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan Linier.

Secara umum Program Linier terdiri dari dua bagian, yaitu : fungsi kendala dan fungsi obyektif.
Fungsi kendala adalah batasan-batasan yang harus dipenuhi, sedangkan fungsi obyektif adalah fungsi yang nilainya akan dioptimumkan (dimaksimumkan atau diminimumkan). Dalam program linier ini, batasan-batasan (kendala-kendala) yang terdapat dalam masalah program linier diterjemahkan terlebih dahulu ke dalam bentuk perumusan matematika, yang disebut model matematika.

Cara menyelesaikan permasalahan nyata dengan model program Linier dua variabel, yaitu harus mengetahui cara memodelkan matematika dan menenentukan nilai optimum bentuk objektif.

1)      Model Matematika

Model matematika adalah adalah suatu hasil interpretasi manusia dalam  menerjemahkan atau merumuskan persoalan sehari-hari ke dalam bentuk matematika, sehingga persoalan itu dapat diselesaikan secara sistematis.

Program Linier adalah suatu program yang dapat dipakai untuk menyelesaikan suatu masalah optimasi, misalnya dibidang ekonomi, industri, perdagangan, dan sebagainya.

Setiap manusia dalam mencapai tujuannya akan menemui kendala, seorang pengusaha roti yag ingin memperoleh keuntungan semaksimal mungkin, kendalanya mungkin dari harga bahan pokok, kendala pemasarannya, dan lain-lain. Masalah-masalah nyata yang sering dihadapi ini akan menjadi bahan kajian di dalam program Linier. Yaitu dengan cara menyelesaikan permasalahan nyata yang dihubungkan dengan program Linier dalam bentuk sistem persamaan Linier dua variabel, dengan kondisi awal kita harus mengetahui cara menterjemahkan bahasa sehari-hari tersebut ke dalam bahasa matematika atau dengan istilah model matematika dan selanjutnya akan kita tentukan nilai optimum bentuk objektif.

Model Matematika adalah suatu rumusan matematika (dapat berbentuk persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi) yang diperoleh dari terjemahan suatu masalah ke dalam bahasa matematika.

Masalah-masalah yang hendak diselesaikan dengan program Linier, terlebih dahulu diterjemahkan menjadi model matematika (dengan variabel-variabel x dan y).

Contoh:

1.     Seorang siswa dapat memilih jurusan IPA, jika memenuhi syarat sebagai berikut:
i).   Nilai matematika lebih dari 6
ii).  Nilai fisika minimal 7
iii). Jumlah nilai matematika dan fisika tidak boleh kurang dari 13
Buat model matematika sebagai syarat seorang siswa bisa ke jurusan IPA.

Jawaban :

Misal: Matematika = x dan Fisika = y

Maka Model Matematika adalah dijadikan sebagai Syarat atau Kendalanya, yaitu:
i).   x > 6
ii).  y ≥ 7
iii). x + y ≥ 13 dengan x, y ϵ R

 

2.     Seorang pemborong akan membangun rumah di atas tanah seluas 10.000 m². Rumah yang akan dibangun terdiri dari dua tipe yaitu RS dan RSS. Luas tanah tipe RS 100 m2 dan luas tanah tipe RSS 80 m2. Sebuah rumah tipe RS dikerjakan oleh 5 orang dan sebuah rumah tipe RSS dikerjakan oleh 3 orang, sedangkan tenaga kerja yang tersedia 450 orang. Rumah itu akan dijual dengan keuntungan Rp 1.000.000 untuk satu unit RS dan Rp 750.000 untuk satu unit RSS.
Buat model matematika dan tulis labanya dalam x dan y!
Jawaban :
Misal:
Rumah Tipe RS = x
Rumah Tipe RSS = y
Syarat/Kendala

1.     100 x + 80 y ≤ 10.000 (Kedua ruas dibagi dengan 20)
5x + 4y ≤ 500

2.     5x + 3y ≤ 450

3.     x ≥ 0 (Karena tidak mungkin sebuah type rumah bernilai negatif)

4.     y ≥ 0 (Karena tidak mungkin sebuah type rumah bernilai negatif)

5.     Labanya: 1.000.000 x + 750.000 y (dijadikan sebagai fungsi tujuan atau fungsi obyekti), sehingga f(x,y) = 1.000.000x + 750.000y.

 

2)      Nilai Optimum Bentuk Objektif

Bentuk objektif atau fungsi objektif atau fungsi tujuan adalah bagian dari model matematika yang menyatakan tujuan (fungsi sasaran) yang ingin dicapai dari suatu persoalan program Linier.

Bentuk objektif atau tujuan dinyatakan dalam ax + by atau f(x,y) = ax + by. Dari bentuk ini akan dicari nilai optimum (maksimum atau minimum).

a.       Metode Uji Titik Pojok

Nilai optimum bentuk objektif ax + by adalah nilai tertinggi (maksimum) atau nilai terendah (minimum) dari ax + by untuk (x, y) anggota himpunan penyelesaian.

 

Contoh 1
Tentukan nilai maksimum dari 2x + 3y, x, y ϵ R yang memenuhi sistem pertidaksamaan x + y ≤ 3 ; x + 2y ≤ 4, x ≥ 0; y ≥ 0

Alternatif Penyelesaian:

Terlebih dahulu digambar daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di atas. Kemudian dihitung nilai 2x + 3y pada setiap titik dalam daerah himpunan penyelesaian.

Berdasarkan tabel di atas, maka nilai maksimum dari 2x + 3y adalah 7 untuk x = 2 dan y = 1.

Nilai maksimum diperoleh pada titik sudut daerah himpunan penyelesaian, berdasarkan nilai tersebut, maka untuk menentukan nilai optimum suatu bentuk objektif f(x,y) = ax + by, kalian cukup menghitung nilai pada tiap titik-titik sudut atau titik yang dekat dengan titik sudut pada daerah himpunan penyelesaian.

Contoh 2

Tentukan nilai minimum dari 3x + 2y dari sistem pertidaksamaan: x + 2y ≥ 6 ; 2x + y ≥ 6 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0, untuk x ,y ∊ R

Alternatif Penyelesaian:

Titik-titik sudut daerah Himpunan Penyelesaiannya adalah:
TitikA (6, 0), titik C (0, 6) dan titik B yang diperoleh dari titik potong garis x + 2y ≥ 6 dan 2x + y ≥ 6.

Untuk menentukan titik B kalian gunakan metode eleminasi dan substitusi:
          
substitusi nilai x = 2 ke persamaan x + 2y = 6 sehingga diperoleh 2 + 2y = 6.

2y = 6 – 2
2y = 4
  y = 2
jadi titik B adalah (2, 2).

Untuk memperoleh nilai minimum, harus kalian uji titik-titik sudut tersebut ke fungsi obyektif f(x,y) = 3x + 2y, sehingga diperoleh:

titik A (6,0) nilai fungsi obyektif f(6,0) = 3(6) + 2(0) = 18 + 0 = 18.
titik B (2,2) nilai fungsi obyektif f(2,2) = 3(2) + 2(2) = 6 + 4 = 10.
titik C (0,6) nilai fungsi obyektif f(0,6) = 3(0) + 2(6) = 0 + 12 = 12.
berdasarkan hasil uji titik tersebut maka kalian akan melihat nilai yang paling minimum adalah 10 yang diperoleh dari x = 2 dan y = 2.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 2: Program Linier Dan Model Matematika. Please share...!