A. Tujuan Pembelajaran
Setelah kegiatan pembelajaran 3 ini diharapkan Kalian dapat menjelaskan konsep kombinasi, menganalisis kombinasi melalui masalah kontekstual, serta mampu menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kombinasi.
B. Uraian
Materi
1.
Kombinasi
Misalkan
dari 4 bersaudara Amir (A), Budi (B), Cahya (C), dan Doni (D) diundang 2 orang
wakilnya untuk rapat keluarga. Ada berapa cara undangan itu dapat dipenuhi?
Bagaimana
pula jika yang diundang adalah 3 orang dari 4 bersaudara itu?
Dari
permasalahan di atas diperoleh bahwa objek eksperimennya adalah O = {A, B, C,
D} sedangkan eksperimennya adalah mengundang hadir dalam rapat keluarga
sebanyak 2 orang wakilnya.
Jika rapat
keluarga itu yang diundang 2 orang, maka apakah arti dari (A, B) dan (B, A)?
Apakah (A, B) = (B, A)?
Demikian
juga, jika rapat keluarga itu yang diundang 3 orang, maka apakah arti dari (C,
A, D) dan (A, C, D)? Apakah (C, A, D) = (A, C, D)?
Nah,
ternyata untuk permasalahan di atas, (A, B) = (B, A), karena jika yang hadir
Amir dan Budi, tentunya sama saja jika yang hadir Budi dan Amir. Demikian juga
(C, A, D) = (A, C, D).
Untuk
menjawab pertanyaan di atas ternyata urutan tidak diperhatikan. Susunan yang
demikian ini dinamakan dengan kombinasi. Sekarang coba cari hubungan yang dapat
diperoleh dari informasi pada masalah di atas, jika rapat keluarga itu yang
diundang 2 orang, maka banyaknya pasangan anggota keluarga yang mungkin ikut
rapat ada 6.
Pengertian
“Diberikan sebanyak n unsur berbeda. Sebuah kombinasi k
unsur dari n unsur berbeda adalah sebuah jajaran dari k unsur
yang urutannya tidak diperhatikan.”
Untuk lebih
memahami pengertian ini, perhatikan huruf-huruf A, B, C, dan D.
a. ABC,
ABD, ACD, dan BCD merupakan kombinasi 3 huruf dari 4 huruf yang diketahui tanpa
pengulangan.
b. AAB,
ABB, ACC, dan BDD merupakan kombinasi-3 huruf dari 4 huruf yang diketahui
dengan pengulangan. (Coba cari kombinasi lainnya selain 4 kombinasi tersebut!)
c. AD,
CB, AB, dan BD merupakan kombinasi-kombinasi-2 huruf dari 4 huruf yang
diketahui. (Coba cari kombinasi lainnya selain 4 kombinasi tersebut!)
Teorema
Misalkan n dan k bilangan bulat non negatif
dengan k ≤ n. Banyaknya kombinasi k
unsur dari n unsur berbeda tanpa pengulangan ditentukan
dengan rumus:
Contoh
Dalam suatu
ujian, setiap siswa diharuskan menjawab 4 soal dari 7 soal yang disediakan.
Jika seorang siswa memilih secara acak soal yang akan dikerjakannya, berapa
banyak cara atau pilihan untuk mengerjakan soal ujian tersebut ?
Alternatif Penyelesaian:
Dalam kasus
di atas, urutan nomor-nomor soal diabaikan. Sehingga banyaknya cara untuk
menngerjakan 4 soal dari 7 soal ujian adalah kombinasi 4 soal dari 7 soal,
sehingga diperoleh:
Jadi, banyak
cara untuk mengerjakan soal ujian tersebut adalah 35 cara.
Contoh
Sebuah
kontingen Olimpiade Matematika yang terdiri atas 5 siswa akan dipilih dari 6
siswa putra dan 4 siswa putri. Tentukan banyak cara kontingen ini dapat
dibentuk jika:
a. tidak ada
pembatasan (tidak dibedakan antara putra dan putri)
b. kontingen
memiliki tepat 2 siswa putra
c. kontingen
memiliki paling sedikit 1 siswa putri
Alternatif Penyelesaian:
Masalah ini
termasuk masalah kombinasi, karena urutan pemilihan siswa tidak diperhatikan
(tidak dipentingkan).
a.
tidak
ada pembatasan
Jumlah siswa tanpa
membedakan putra dan putri adalah 6 + 4 = 10. dari 10 siswa tersebut akan
dipilih 5 siswa, sehingga banyak cara membentuk kontingen adalah:
b.
kontingen
memiliki tepat 2 siswa putra
2 siswa putra dapat
dipilih dari 6 siswa putra, dengan banyaknya cara memilihnya adalah C(6,
2).
Kontingen terdiri dari 5
siswa, berarti masih tersedia 3 tempat yang harus diisi oleh siswa putri.
Banyaknya cara memilih 3 siswa putri dari 4 siswa putri adalah C(4, 3).
Dengan aturan perkalian,
banyaknya cara membentuk kontingen yang memiliki tepat 2 siswa putra adalah:
c.
kontingen
memiliki paling sedikit 1 siswa putri
Banyaknya cara membentuk
kontingen yang terdiri atas 5 siswa dengan semuanya putra adalah C(6, 5)
Banyaknya cara membentuk
kontingen adalah C(10, 5).
Jadi, banyaknya cara
membentuk kontingen yang memiliki paling sedikit 1 siswa putri adalah:
Sumber
Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 3: Kombinasi. Please share...!
