Kegiatan Pembelajaran 3: Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Senin, 28 Oktober 2024

 

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 3 ini diharapkan kalian dapat menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui suatu titik pada lingkaran, persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m, dan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran.

B. Uraian Materi

1.     Persamaan Garis Singgung Melalui Sebuah Titik pada Lingkaran

Misalkan titik P(x₁, y1) terletak pada lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan berjari-jari r. Kemudian dibuat suatu garis singgung yang melalui titik P seperti pada gambar.

Persamaan umum garis singgung tersebut adalah 𝑦 − 𝑦₁ = 𝑚 (𝑥 − 𝑥₁).

Gradien garis yang menghubungkan titik O(0, 0) dan titik P(x₁, y₁) adalah:

    

Garis singgung lingkaran dan garis OP saling tegak lurus sehingga:

    

disubstitusikan ke persamaan umum garis singgung 𝑦 − 𝑦₁ = 𝑚 (𝑥 − 𝑥₁), sehingga diperoleh :

         

Jadi, persamaan garis singgung melalui titik 𝑃(𝑥₁,𝑦₁) pada lingkaran 𝑥2+𝑦2=𝑟2 adalah:

Dengan cara penurunan yang sama, persamaan garis singgung melalui titik singgung 𝑃(𝑥₁,𝑦₁) yang terletak pada lingkaran dengan persamaan:

Contoh 1.

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik P(8, −6) pada lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 100.

Alternatif Penyelesaian:

Kita periksa dahulu apakah titik P(8, −6) terletak pada lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 100.

Berarti titik P(8, −6) terletak pada lingkaran dan merupakan titik singgung.

Persamaan garis singgung melalui titik P(8, −6) pada lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 100 dapat ditentukan dengan rumus:

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik P(8, −6) pada lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 100 adalah 4𝑥−3𝑦−50=0.

Contoh 2.

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik Q(10, 9) pada lingkaran (𝑥 + 2)² + (𝑦 − 4)² = 169.

Alternatif Penyelesaian:

Kita periksa dahulu apakah titik Q(10, 9) terletak pada lingkaran (𝑥 + 2)² + (𝑦 − 4)² = 169.

 

Berarti titik Q(10, 9) terletak pada lingkaran dan merupakan titik singgung.

Persamaan garis singgung melalui titik Q(10, 9) pada lingkaran (𝑥 + 2)² + (𝑦 − 4)² = 169 dapat ditentukan dengan rumus:

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik Q(10, 9) pada lingkaran (𝑥 + 2)² + (𝑦 − 4)² = 169 adalah 12𝑥 + 5𝑦 – 165 = 0.

Contoh 3.

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik R(7, −2) pada lingkaran 𝑥² + 𝑦² − 8𝑥 + 12𝑦 + 27 = 0.

Alternatif Penyelesaian:

Kita periksa dahulu apakah titik R(7, −2) terletak pada lingkaran 𝑥² + 𝑦² − 8𝑥 + 12𝑦 + 27 = 0.

Berarti titik R(7, −2) terletak pada lingkaran dan merupakan titik singgung.

Persamaan garis singgung melalui titik R(7, −2) pada lingkaran 𝑥² + 𝑦² − 8𝑥 + 12𝑦 + 27 = 0 dapat ditentukan dengan rumus

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik R(7, −2) pada lingkaran 𝑥² + 𝑦² − 8𝑥 + 12𝑦 + 27 = 0 adalah 3𝑥 + 4𝑦 – 13 = 0.

 

 

 

“Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 3: Persamaan Garis Singgung Lingkaran. Please share...!