Persamaan Garis Singgung Yang Gradiennya Diketahui

Selasa, 29 Oktober 2024

2.     Persamaan Garis Singgung Yang Gradiennya Diketahui

Sebuah garis yang mempunyai gradien m dan melalui titik (0, c) dinyatakan dengan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐. Jika garis tersebut menyinggung lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 𝑟², maka persamaan garis singgung lingkaran tersebut dapat diperoleh dengan langkah-langkah berikut.

Substitusikan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 ke dalam persamaan lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 𝑟², sehingga diperoleh:

         

Garis menyinggung lingkaran (memotong lingkaran pada satu titik) jika nilai diskriminan persamaan kuadrat di atas sama dengan 0 (D = b² – 4ac = 0):

         

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 𝑟² yang mempunyai gradien m adalah:

Dengan cara yang sama, persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran dengan persamaan baku (x – a)² + (y – b)² = r² dirumuskan oleh:

Untuk persamaan lingkaran dalam bentuk umum 𝑥² + 𝑦² + A𝑥 + B𝑦 + C = 0, maka terlebih dahulu diubah ke dalam bentuk baku (x – a)² + (y – b)² = r² atau langsung menentukan pusat lingkaran  dan jari-jari , kemudian menentukan persamaan garis singgungnya dengan rumus di atas.

Hubungan Antara Gradien 2 Garis

Misalkan m₁ adalah gradien garis g₁ dan m₂ adalah gradien garis g₂.

Misalkan m₁ adalah gradien garis g₁ dan m₂ adalah gradien garis g₂.

v    Jika garis g₁ sejajar dengan garis g₂, maka berlaku m₁ = m₂

v    Jika garis g₁ tegak lurus garis g₂, maka berlaku m₁ × m₂ = − 1 atau

Contoh 4.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 36 yang bergradien 2.

Jawab

Diketahui r = 6 dan m = 2, maka persamaan garis singgungnya adalah:

Jadi, persamaan garis lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 36 yang bergradien 2 adalah: 

.

Contoh 5.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 + 2)² + (𝑦 − 4)² = 169 yang sejajar dengan garis y = 3x + 5.

Jawab

Garis y = 3x + 5 mempunyai gradien m₁ = 3. Garis singgung lingkaran sejajar garis y = 3x + 5 , berarti gradien garis singgung adalah m = 3. (sejajar, maka m = m₁)

Jari-jari lingkaran , maka persamaan garis singgungnya adalah:

         

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 + 2)² + (𝑦 − 4)² = 169 yang sejajar dengan garis y = 3x + 5 adalah:

Contoh 6.

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 𝑥² + 𝑦² − 6𝑥 + 8𝑦 = 0 yang tegak lurus dengan garis 3x + 4y – 8 = 0

Jawab

Garis singgung lingkaran tegak lurus garis 3x + 4y – 8 = 0, sehingga berlaku:

maka persamaan garis singgungnya adalah:

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran 𝑥² + 𝑦² − 6𝑥 + 8𝑦 = 0 yang tegak lurus dengan garis 3x + 4y – 8 = 0 adalah 4𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 dan 4𝑥 − 3𝑦 – 49 = 0.

 

“Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading Persamaan Garis Singgung Yang Gradiennya Diketahui. Please share...!