Uji Turunan Kedua untuk Menentukan Titik Maksimum, Titik Minimum, Kecekungan, dan Titik Belok
Sebelum menentukan titik maksimum, titik minimum, kecekungan, dan titik belok menggunakan uji turunan kedua, Ananda harus memahami terlebih dahulu definisi turunan kedua.
Definisi 2
Jika f ' (x) (turunan pertama suatu fungsi) diturunkan lagi terhadap x, maka akan diperoleh turunan kedua fungsi f(x) terhadap x, ditulis dengan f '' (x) atau y '' atau 
.
Contoh 5
Tentukan turunan kedua fungsi trigonometri berikut.
a. y = sin (2x + 𝜋)
b. y = cos2 x
Alternatif Penyelesaian:
a. y = sin (2x + 𝜋)
y ' = 2 cos (2x + 𝜋) (turunan y = sin u adalah y ' = u ' cos u)
y '' = –4 sin (2x + 𝜋) (turunan y = cos u adalah y ' = – u ' sin u)
b. y = cos2 x
y ' = –2 cos x sin x (turunan y = u2 adalah y ' =2u . u ')
y ' = –sin 2x (sin 2x = 2 sin x cos x)
y '' = –2 cos 2x (turunan y = sin u adalah y ' = u ' cos u)
Gambar 6 memperlihatkan grafik dua fungsi yang naik pada (a, b). Kedua grafik menghubungkan titik A ke titik B tetapi kelihatan berbeda karena melengkung dalam arah berlainan. Bagaimana Ananda dapat membedakan antara dua tipe kelakuan ini? Dalam Gambar 7 garis singgung pada kurva ini telah digambarkan pada beberapa titik. Dalam (a) kurva terletak di atas garis singgung dan f disebut cekung ke atas pada (a, b). Dalam (b) kurva terletak di bawah garis singgung dan g disebut cekung ke bawah pada (a, b).
Definisi 3
v Jika grafik f terletak di atas semua garis singgungnya pada suatu selang I(f ' naik) maka grafik disebut cekung ke atas
v Jika grafik f terletak di bawah semua garis singgungnya pada suatu selang I(f ' turun) maka grafik disebut cekung ke bawah.
Kriteria sederhana untuk memutuskan di mana kurva cekung ke atas dan di mana kurva cekung ke bawah dengan cukup Ananda mengingat dalam hati bahwa turunan kedua dari f adalah turunan pertama dari f '. Jadi, f ' naik jika f '' positif dan f ' turun jika f '' negative, sabagaimana teorema berikut.
Teorema 1
Andaikan fterturunkan dua kali pada selang terbuka (a, b)
v Jika f '' (x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f cekung ke atas pada (a, b)
v Jika f '' (x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f cekung ke bawah pada (a, b)
Jika kurva pada suatu titik P berubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas maka titik P disebut titik belok. Secara umum, titik belok adalah titik tempat kurva berubahnya arah kecekungan.
Definisi 4
Misalkan f kontinu di c. Titik (c, f(c)) dinamakan titik belok dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi yang lainnya dari I. Untuk menentukan titik belok suatu grafik fungsi maka di cari nilai c jika f '' (c) = 0.
Agar Ananda lebih memahami lagi dalam menentukan kecekungan dan titik belok fungsi trigonometri menggunakan uji turunan kedua, pelajari contoh berikut.
Contoh 6
Tentukan interval di mana fungsi cekung ke atas dan cekung ke bawah dan carilah titik belok fungsi trigonometri 𝑦 = 𝑥 + cos 𝑥 pada interval 0 < x < 2𝜋 …
Alternatif Penyelesaian:
v Tentukan turunan pertama dan turunan kedua fungsi f(x)
f(x) = x + cos x
f ' (x) = 1 – sin x
f '' (x) = – cos x
v Syarat titik belok
f '' (x) = 0
–cos x = 0
v Hitung nilai f(x)
v Uji nilai fungsi f'' (x) pada garis bilangan dan beri tanda
v Kesimpulan
Ø Fungsi f(x) cekung ke atas pada interval 
karena f '' (x) > 0
Ø Fungsi f(x) cekung ke bawah pada interval 
karena f'' (x) < 0
Ø Titik 
merupakan titik belok, karena di titik 
terjadi perubahan kecekungan.
Penerapan lain dari turunan kedua adalah pengujian untuk nilai maksimum dan minimum yang merupakan akibat dari Uji kecekungan.
Teorema 2
Andaikan f ' dan f '' ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a, b) yang memuat c, dan andaikan f '' (c) = 0.
v Jika f '' (c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f.
v Jika f '' (c) > 0, maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.
Agar Ananda lebih memahami lagi dalam menentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi trigonometri menggunakan uji turunan kedua, pelajari contoh berikut.
Contoh 7
Menggunakan uji turunan kedua, carilah titik maksimum dan minimum fungsi trigonometri 𝑓(𝑥) = 𝑥 + sin 2𝑥 pada interval 0o < x < 180o …
Alternatif Penyelesaian:
v Tentukan turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x)
f(x) = x + sin 2x
f ' (x) = 1 + 2cos 2x (turunan y = sin ax adalah y ' = a cos ax)
f '' (x) = –4 sin 2x (turunan y = cos ax adalah y ' = –a sin ax)
v Syarat stasioner
f '(x) = 0
1 + 2 cos 2x = 0
cos 2x = − ½
cos 2x = cos 120o (cos x = cos a maka x = a + n.2𝜋 dan x = –a + n.2𝜋)
v Menentukan nilai stasioner
v Uji turunan kedua
v Kesimpulan
Titik 
merupakan titik balik maksimum, karena f '' < 0.
Titik 
merupakan titik balik minimum, karena f '' > 0.
Bagaimana menyelesaikan masalah fungsi trigonometri dalam kehidupan sehari- hari? Untuk memahaminya, pelajari Contoh 8 berikut.
Contoh 8
Sebuah rumah panggung dihubungkan dengan sebuah tangga menuju halamannya. Tangga tersebut ditopang oleh kayu dengan tinggi 2 m dan berjarak 2 m dari rumah. Jika permukaan tanah disekitar rumah dianggap datar dan tinggi tiang penyangga rumah tegak lurus pada permukaan tanah, tentukan panjang minimum dari tangga rumah tersebut …
Alternatif Penyelesaian:
v Buat pemodelan dari permasalahan
Misalkan θ, dengan 
adalah sudut antara tangga dan permukaantanah dan panjang tangganya adalah u + v, maka:
Sehingga panjang tangga dapat dimodelkan dalam bentuk fungsi berikut:
Tujuan kita adalah mencari nilai minimum dari fungsi tersebut.
v Tentukan turunan pertama fungsi 𝑓(𝜃)
v Syarat stasione
v Menentukan nilai stasioner
v Kesimpulan
Jadi, panjang tangga minimum dari rumah ke tanah adalah 4√2 m.
“Sumber Informasi”
Thanks for reading Uji Turunan Kedua untuk Menentukan Titik Maksimum, Titik Minimum, Kecekungan, dan Titik Belok. Please share...!
