Uji
Turunan Pertama untuk Menentukan Titik Maksimum, Titik Minimum, dan Titik Belok
Perhatikan Gambar 2 berikut, menentukan titik maksimum, titik minimum, dan titik belok menggunakan uji turunan pertama, diuraikan dalam sifat berikut.
Sifat 1
Misalkan
f fungsi trigonometri yang yang mempunyai turunan dan f '(a) = 0
v Jika nilai f ' bertanda
positif di x < a dan bertanda negatif di x > a,
maka (a,f(a)) disebut titik maksimum lokal.
v Jika nilai f ' bertanda
negatif di x < c dan bertanda positif di x > c,
maka (c,f(c)) disebut titik minimum lokal.
v Jika disekitar titik x
= b tidak ada perubahan tanda nilai f ', maka (b,f(b))
disebut titik belok horisontal.
Untuk lebih
memahami lagi Ananda dalam menentukan titik maksimum, titik minimum, dan titik
belok menggunakan uji turunan pertama, pelajari contoh berikut.
Contoh 2
Menggunakan
uji turunan pertama, carilah titik maksimum dan minimum fungsi trigonometri 𝑦 = cos 2𝑥 pada interval 0 ≤ x ≤ 2π
Alternatif
Penyelesaian:
v Tentukan turunan pertama fungsi f(x)
f(x) = cos 2x
f ' (x) = –2 sin 2x (turunan y
= cos ax adalah y' = –a sin ax)
v Syarat stasioner
f ' (x)
= 0
– 2 sin 2x = 0 (kalikan kedua
ruas dengan – ½)
sin 2x = 0 (sin x =
sin α maka x = α + n.2π dan
x = (π – α) + n.2π)
v Menentukan nilai stasioner
➢ Nilai stasionernya
adalah – 1 dan 1.
➢ Titik stasionernya
adalah 
.
v Uji nilai fungsi f ' (x) pada
garis bilangan dan beri tanda
v Kesimpulan
Ø Titik (0, 1), (𝜋, 1), dan (2𝜋, 1) merupakan titik balik maksimum,
karena f ' berubah tanda dari + (positif) ke – (negatif)
Ø Titik (𝜋/2, –1) dan (3𝜋/2, –1) merupakan titik
balik minimum, karena f '
Contoh 3
Menggunakan
uji turunan pertama, carilah titik maksimum dan minimum fungsi trigonometri 𝑦 = sin 𝑥 (1 + cos 𝑥) pada interval 0o < x < 90o
…
Alternatif
Penyelesaian:
v Tentukan turunan pertama fungsi f(x)
v Syarat stasioner
f ' (x)
= 0
2cos2 x +
cos x – 1 = 0
(2cos x – 1)(cos x
+ 1) = 0 (faktorkan)
cos x = ½ atau cos
x = –1
x = 60o x = 180o
(tidak memenuhi karena 0o
< x < 90o)
v Menentukan nilai stasioner
➢ Nilai stasionernya adalah 
.
➢ Titik stasionernya adalah 
.
v Uji nilai fungsi f ' (x) pada garis
bilangan dan beri tanda
v Kesimpulan
Titik merupakan titik balik maksimum, karena f ' berubah tanda dari + (positif) ke –
(negatif).
Contoh 4
Menggunakan
uji turunan pertama, carilah titik belok fungsi trigonometri 𝑦 = 𝑥 + sin 𝑥
pada interval 0 < x < 2𝜋 …
Alternatif
Penyelesaian:
v Tentukan turunan pertama fungsi f(x)
f(x) = x + sin x
f
' (x) = 1 + cos x
v Syarat stasioner
f
' (x) = 0
1 + cos x = 0
cos x = –1 ⇒ x = 𝜋
v Menentukan nilai stasioner
x = 𝜋 ⇒ f(𝜋) = 𝜋 + sin 𝜋
= 𝜋
➢ Nilai stasionernya adalah 𝜋.
➢ Titik stasionernya adalah (𝜋,
𝜋).
v Uji nilai fungsi f ' (x) pada garis bilangan dan beri tanda
v Kesimpulan
Titik (𝜋,
𝜋) merupakan titik belok, karena f ' disekitar titik x
= 𝜋 tidak ada perubahan tanda (positif (+) ke positif (+)).
“Sumber Informasi”
Thanks for reading Uji Turunan Pertama untuk Menentukan Titik Maksimum, Titik Minimum, dan Titik Belok. Please share...!
