Uji Turunan Pertama untuk Menentukan Titik Maksimum, Titik Minimum, dan Titik Belok

Kamis, 16 Januari 2025

Uji Turunan Pertama untuk Menentukan Titik Maksimum, Titik Minimum, dan Titik Belok

Perhatikan Gambar 2 berikut, menentukan titik maksimum, titik minimum, dan titik belok menggunakan uji turunan pertama, diuraikan dalam sifat berikut.

Sifat 1

Misalkan f fungsi trigonometri yang yang mempunyai turunan dan f '(a) = 0

v Jika nilai f ' bertanda positif di x < a dan bertanda negatif di x > a, maka (a,f(a)) disebut titik maksimum lokal.

v Jika nilai f ' bertanda negatif di x < c dan bertanda positif di x > c, maka (c,f(c)) disebut titik minimum lokal.

v Jika disekitar titik x = b tidak ada perubahan tanda nilai f ', maka (b,f(b)) disebut titik belok horisontal.

 

Untuk lebih memahami lagi Ananda dalam menentukan titik maksimum, titik minimum, dan titik belok menggunakan uji turunan pertama, pelajari contoh berikut.

Contoh 2

Menggunakan uji turunan pertama, carilah titik maksimum dan minimum fungsi trigonometri 𝑦 = cos 2𝑥 pada interval 0 ≤ x ≤ 2π

Alternatif Penyelesaian:

v  Tentukan turunan pertama fungsi f(x)

f(x) = cos 2x

f ' (x) = –2 sin 2x       (turunan y = cos ax adalah y' = –a sin ax)

v  Syarat stasioner

f ' (x) = 0

– 2 sin 2x = 0   (kalikan kedua ruas dengan – ½)

sin 2x = 0         (sin x = sin α maka x = α + n.2π dan x = (π – α) + n.2π)

 

v  Menentukan nilai stasioner

➢  Nilai stasionernya adalah – 1 dan 1.

➢  Titik stasionernya adalah .

v  Uji nilai fungsi f ' (x) pada garis bilangan dan beri tanda

v  Kesimpulan

Ø   Titik (0, 1), (𝜋, 1), dan (2𝜋, 1) merupakan titik balik maksimum, karena f ' berubah tanda dari + (positif) ke – (negatif)

Ø    Titik (^𝜋/₂, –1) dan (^3𝜋/₂, –1) merupakan titik balik minimum, karena f '

 

Contoh 3

Menggunakan uji turunan pertama, carilah titik maksimum dan minimum fungsi trigonometri 𝑦 = sin 𝑥 (1 + cos 𝑥) pada interval 0^o < x < 90^o …

Alternatif Penyelesaian:

v  Tentukan turunan pertama fungsi f(x)

v  Syarat stasioner

f ' (x) = 0

2cos² x + cos x – 1 = 0

(2cos x – 1)(cos x + 1) = 0 (faktorkan)

cos x = ½ atau cos x = –1

x = 60^o x = 180^o     (tidak memenuhi karena 0^o < x < 90^o)

v  Menentukan nilai stasioner

➢ Nilai stasionernya adalah .

➢ Titik stasionernya adalah .

v  Uji nilai fungsi f ' (x) pada garis bilangan dan beri tanda

v  Kesimpulan

Titik  merupakan titik balik maksimum, karena f ' berubah tanda dari + (positif) ke – (negatif).

 

Contoh 4

Menggunakan uji turunan pertama, carilah titik belok fungsi trigonometri 𝑦 = 𝑥 + sin 𝑥 pada interval 0 < x < 2𝜋 …

Alternatif Penyelesaian:

v  Tentukan turunan pertama fungsi f(x)

f(x) = x + sin x

f ' (x) = 1 + cos x

v  Syarat stasioner

f ' (x) = 0

1 + cos x = 0

cos x = –1 ⇒ x = 𝜋

v  Menentukan nilai stasioner

x = 𝜋 ⇒ f(𝜋) = 𝜋 + sin 𝜋 = 𝜋

➢ Nilai stasionernya adalah 𝜋.

➢ Titik stasionernya adalah (𝜋, 𝜋).

v  Uji nilai fungsi f ' (x) pada garis bilangan dan beri tanda

v  Kesimpulan

Titik (𝜋, 𝜋) merupakan titik belok, karena f '  disekitar titik x = 𝜋 tidak ada perubahan tanda (positif (+) ke positif (+)).

 

“Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading Uji Turunan Pertama untuk Menentukan Titik Maksimum, Titik Minimum, dan Titik Belok. Please share...!