Logaritma - 1

Kamis, 24 Oktober 2019

A. Pengertian Logaritma

Logaritma merupakan invers dari perpangkatan tau eksponen, sehingga antara eksponen dan logaritma mempunyai hubungan seperti berikut ini:

          ax = b    ⇔    x = alog b, b > 0, a > 0, dan a ≠ 1


dengan, a  disebut bilangan
              b  disebut numerus
              c  disebut hasil logaritma

Bentuk x = alog b dibaca : x adalah logaritma dari b dengan bilangan pokok a. Logaritma dengan bilangan pokok 10 cukup ditulis log saja, contoh 10log 8 cukup ditulis log 8.

Rumus untuk menyederhanakan bentuk logaritma.

   1.  log a . b = log a + log b

   2.  log a / b = log a - log b = - log b / a

   3.  ^alog b . ^blog c = ^alog c

   4.  log aⁿ = n log a

   5.  aⁿ log b = ^alog b^1/n

   6.  aⁿ log b^k = k/n ^alog b 

   7.  a^a log b = b

   8.  ^alog b = log b / log a = 1 / b log a

   9.  ^alog 1 = 0 sebab a0 = 1

   10. ^alog a = 1 sebab a¹ = a

Contoh Soal

1. Harga dari alog b . blog c . clog d. adalah ...

Pembahasan

alog b . blog c . clog d = (alog b . blog c ) clog d
                                    = alog c . clog d
                                    = alog d

B. Persamaan Logaritma 

Persamaan logaritma dalam x adalah persamaan yang mengandung fungsi x di bawah tanda logaritma atau fungsi x sebagai bilangan pokok suatu logaritma.

Sifat – sifat yang berlaku pada persamaan logaritma

   1.  Jika alog f(x) = alog p , maka f(x) = p asalkan f(x) > 0.

   2.  Jika alog f(x) = blog f(x), dengan (a ≠ b), maka f(x) = 1.

   3.  Jika alog f(x) = alog f(x), maka f(x) = g(x) dengan (a ≠ b), maka f(x) = g(x) keduanya positif.  

   4.  Jika h(x)log f(x) = h(x)log g(x), maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan (x) keduanya positif serta 
        h(x) > 0 dan h(x) ≠ 1

   5.  Jika f(x)log h(x) = g(x)log h(x), maka kemungkinan-kemungkinannya:
        a.  f(x) = g(x) asalkan h(x) = 1, f(x) > 0, f(x) ≠ 1, g(x) > 0, g(x) ≠ 1
        b.  f(x) = g(x) asalkan h(x) ≠ 1, h(x) > 0.

Contoh Soal

1.  Jika 2log (a2 – b2) = 2log (a – b) dan a > b maka ...

Pembahasan

             2log (a2 – b2) = 2log (a – b)

                       a2 – b2  = a – b

             (a + b) (a – b)  = a – b

                          a + b  = 1

C. Fungsi Logaritma

Fungsi Logaritma adalah fungsi invers dari fungsi eksponen.

   Jika x > 0, a > 0, dan a ≠ 1  maka :

        y = alog x   ⇔   x = ay 

   Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a dapat ditulis dalam bentuk f : x → alog x atau 

   y = f(x) =  alog x

Grafik fungsi logaritma merupakan invers grafik eksponennya. Perhatikan grafik berikut ini!

Dari gambar tersebut, grafik fungsi g(x) = 2log x merupakan invers dari grafik f(x) = 2x.

1. Grafik Fungsi Logaritma dengan Bilangan Pokok a > 1

Fungsi logaritma y = f(x) = = alog x dengan a > 1 merupakan fungsi monoton naik, sebab untuk x2 > x1 maka alog x2 > alog x1.
Bentuk umum dari grafik fungsi f(x).

2. Grafik Fungsi Logaritma dengan Bilangan Pokok 0 < a < 1 . 

Fungsi logaritma y = f(x) = = alog x dengan 0 < a < 1 merupakan fungsi monoton turun, sebab untuk x2 > x1 maka alog x2 > alog x1.

Bentuk umum dari grafik fungsi f(x).


D. Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang mengandung fungsi-fungsi logaritma.

       alog f(x) >  alog g(x) maka :  (i)  f(x) > g(x), a > 1
                                                    (ii) f(x) < g(x), 0 < a < 1

Perlu diingit bahwa fungsi logaritma hanya berlaku untuk bilangan positif.

Sehingga pada pertidaksamaan logaritma alog f(x) >  alog g(x), langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

I.  Syarat: f(x) > 0 dan g(x) > 0

II. Selesaikan

     alog f(x) >  alog g(x)

     ⇒ (i)  f(x) > g(x), a > 1

         (ii) f(x) < g(x), 0 < a < 1

Penyelesaian = I ⋂ II

Contoh Soal

1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan  2log (2x + 7) > 2 adalah ...

Pembahasan

    2log (2x + 7) > 2

I.  Syarat

    2 x + 7 > 0

    2 x > – 7

     x > – 7 / 2

II. Selesaikan


    2log (2x + 7) > 2


    2log (2x + 7) > 2log 22

    2 x + 7 > 22

    2 x > 4 – 7

     x > – 3 / 2

Penyelesaian = I ⋂ II = x > – 3 / 2





Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Logaritma - 1. Please share...!