Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat - 1

Senin, 28 Oktober 2019

A. Persamaan Kuadrat

1. Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.

Bentuk umum persamaan kuadrat:

ax² + bx + c = 0,  a ≠ 0 dan a, b, c ∈ R

dengan,  x adalah variabel dari persamaan kuadrat

              a adalah koefisien x²

              b adalah koefisien x

              c adalah konstanta

2. Cara Penyelesaian Persamaan Kuadrat

a. Memfakton

ax² + bx + c = 0, diuraikan menjadi (x – x₁) (x – x₂) = 0

b. Memakai Rumus Kuadrat atau Rumus ABC

Rumus untuk menemukan akar-akar persamaan kuadrat

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 adalah:

c. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna adalah mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Bentuk umum persamaan kuadrat berbentuk kuadrat sempurna adalah

(x + p)² = q, dengan q > 0

Contoh Soal

Persamaan x² + 2x – 3 = 0 dan x² + x – 2 = 0 mempunyai sebuah akar persekutuan. Akar persekutuan tersebut adalah ...

Pembahasan

Misalnya akar persekutuan itu x = p, maka nilai x = p disubstitusikan kepada kedua persamaan, kemudian diperoleh persamaan:

       (1) p² + 2p – 3 = 0

       (2) p² + p – 2   = 0   −

    -------------------------

                      p – 1 = 0

                           p  = 1

3. Menentukan Jenis Akar – akar Persamaan Kuadrat

Jenis akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 ditentukan oleh nilai diskriminan 

D = b² − 4ac.

a.      D > 0

Kedua akar nyata dan berlainan (x₁ ≠ x₂)

b.     D = 0

Kedua akar nyata dan sama (x₁ = x₂)

c.      D < 0

Kedua akar tidak nyata (imaginer)

d.     D = k², dengan k² = bilangan kuadrat sempurna kedua akar rasional.

Contoh Soal

Jika akar-akar persamaan kuadrat x² + 4x + a – 4 = 0 rasional dan a bilangan cacah, maka nilai a adalah ...

Pembahasan

x² + 4x + a – 4 = 0, maka a = 1, b = 4, dan c = a – 4

Syarat mempunyai akar rasional:

D = b² – 4ac

    = 4² – 4 (1) (a – 4)

    = 16 – 4a + 16

    = 32 – 4a

Bilangan cacah a yang mengakibatkan D = 32 – 4a merupakan kuadrat sempurna 4, 7, atau 8.

4. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Untuk menhitung jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, dengan a ≠ 0 dapat dicari tanpa terlebih dahulu mencari akar-akarnya.

Dari rumusdan 

Tunjukkan bahwa:

rumus-rumus lain:

  

Contoh Soal

Bila x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat x² − 6x – 5 = 0, maka adalah ...

Pembahasan

                 = (6)² − 2(−5)

                 = 36 + 10

                 = 46

5. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, dengan a ≠ 1 maka berlaku ini.

a.      Syarat mempunyai dua akar positif

1)  D ≥ 0

2)  x₂ + x₂ ˃ 0

3)  x₁. x₂ ˃ 0

b.     Syarat mempunyai dua akar negatif

1)  D ≥ 0

2)  x₁ + x₂ ˂ 0

3)  x₁. x₂ ˃ 0

c.      Syarat mempunyai dua akar berlainan

1)  D ˃ 0

2)  x₁. x₂ ˂ 0

d.     Syarat mempunyai dua berlawanan

1)  x₁ + x₂ = 0

e.      Syarat mempunyai dua akar berkebalikan

1)  x₁ x₂ = 1

6. Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x₁ dan x₂ adalah.

(x −  x₁) (x – x₂) = 0

x² − (x₁ + x₂) x + x₁x₂ = 0

Contoh Soal

Jika 2 dan 3 akar-akar suatu persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat yang di maksud adalah ...

Pembahasan

Misalkan x₁ = 2 dan x₂ = 3, maka:

x₁ + x₂ = 2 + 3 = 5

x₁ . x₂ = 2 . 3 = 6

Persamaan kuadrat yang di maksud adalah:

x² − (x₁ + x₂) x + x₁. x₂ = 0

x² − 5x + 6 = 0

B. Fungsi Kuadrat

1. Pengertian Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat yaitu fungsi yang pangkat variabel tertingginya adalah dua.

Bentuk umum:

y = ax² + bx + c , a ≠ 0 dan a, b, c, ∈ R

2. Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat berupa parabola.

a. Jika a ˃ 0 maka parabola terbuka ke atas

b. Jika a ˂ 0 maka parabola terbuka ke bawah.

Misalnya grafik fungsi kuadrat tampak seperti pada gambar di bawah ini.

Dari gambar tersebut diperoleh:

A adalah titik potong kurva dengan sumbu Y.

B, C adalah titik potong kurva dengan sumbu X.

P adalah titik puncak.

l adalah sumbu simetri.

3. Titik Potong terhadap Sumbu-sumbu Koordinat

Titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, terdiri atas dua macam yaitu:

a. Titik potong terhadap Sumbu X

Agar grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c memotong sumbu X, maka nilai y haruslah sama dengan nol (0).

y = 0 ⇔ a² + bx + c = 0

(x – x₁) (x – x₂) = 0

Koordinat titik potongnya (x₁, 0) dan (x₂, 0).

b. Titik potong pada Sumbu Simetri

Agar grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c memotong sumbu Y, maka nilai x haruslah sama dengan nol (0).

x = 0 ⇔ y = a(0)² + b(0) + c

y = c

koordinat titik potongnya (0, c).

4. Titik Puncak/Titik Balik dan Sumbu Simetri

Bentuk y = ax² + bx + c dapat ditulis menjadi .

x = disebut sumbu simetri (penyebab ekstrim)

y = disebut nilai ekstrim.

•  Jika a ˃ 0 maka y_eks = y_min

•  Jika a ˂ 0 maka y_eks = y_max

    Titik puncak parabola:.

•   Jika a ˃ 0 maka titik puncak adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas.

•   Jika a ˂ 0 maka titik puncak adalah titik balik maksimum dan parabola terbuka ke bawah.

5. Kegunaan Diskriminan pada Fungsi Kuadrai

a. Mengetahui hubungan parabola dengan sumbu X

1) Jika D ˃ 0 ⇒ parabola memotong sumbu X dua titik

2) Jika D = 0 ⇒ parabola menyinggung sumbu X

3) Jika D ˂ 0 ⇒ parabola tidak menyinggung atau pun memotong sumbu X.

Perhatikan grafik fungsi kuadrat y = ax²+ bx + c

b. Mengetahui hubungan parabola dengan garis

Untuk menentukan apakah suatu itu memotong atau tidak memotong parabola, maka dapat dilakukan dengan cara mensubstitusikan garis ke parabola, dan hasiknya seperti di bawah ini.

1) Jika D ˃ 0 ⇒ garis memotong parabola di dua titik

2) Jika D = 0 ⇒ garis menyinggung parabola (berpotong di suatu titik)

3) Jika D ˂ 0 ⇒ garis tidak menyinggung ataupun memotong parabola.

6. Menentukan Persamaan Kurva dari Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan persamaan kurva jika grafik fungsi kuadratnya diketahui dapat dilakukan dengan cara berikut.

a. Jika diketahui titik puncak = (x_p, y_p), gunakan rumus: y = a (x – x_p)² + y_p

b. Jika diketahui titik potong dengan sumbu X yakni (x₁, 0) dan (x₂, 0) gunakan rumus:

y = a (x – x₁) (x – x₂)

c. Jika yang diketahui selain titik pada poin a dan b, maka gunakan rumus: y = ax² + bx + c.

Contoh Soal

Grafik fungsi y = x²− 4x + a tidak memotong sumbu X di dua titik jika ...

Pembahasan

Fungsi y = x² − 4x + a, koefisien-koefisiennya a = 1, b = − 4, c = a tidak memotong sumbu X di dua titik.

Berarti kemungkinannya:

1) Tidak memotong sama sekali ⇒ D < 0

2) Menyinggung sumbu x ⇒ D = 0

Sehingga syaratnya D ≤ 0

⇔  b² – 4ac ≤ 0

⇔  (− 4)² − 4 (1) (a) ≤ 0

⇔  16 – 4a ≤ 0

⇔  4 – a ≤ 0

⇔  4 ≤ a

⇔  a ≥ 4.



Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat - 1. Please share...!