A. Pangkat Bulat Positif
Apabila a adalah bilangan real dan n merupakan bilangan bulat positif maka bentuk a(a pangkat n) menyatakan perkalian n faktor yang setiap adalah a. Secara umum dapat ditulis:
a= a x a x a x ... x a
sebanyak n faktor
dengan,
adisebut bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif
adibaca a pangkat n
adisebut bilangan pokok atau basis
n disebut pangkat atau ekponen
Berdasarkan penjelasan di atas maka berlaku rumus-rumus berikut ini:
Misalkan a, b, ∈ R dan m,n adalah bilangan bulat positif maka:
1. a× a= a
3. (a) = a
4. (a × b) = a× a
5. (a/b) = a / b , b ≠ 0
Contoh Soal
1. (4a) : 2a= ...
Pembahasan
(4a) : 2a= 16a : 2a
= 8a
= 8a
B. Pangkat Nol dan Bulat Negatif
Perhatikan kembali rumus a : a= apada pembahasan sebelumnya. Jika diambil m = n maka diperoleh :
a : a= a
⇔ a : a= a
⇔ 1 = a
Jika, a = 1, a ≠ 0
Jika diambil m = 0 maka diperoleh:
a : a= a
⇔ a : a= a
⇔ 1 : a= a
⇔ 1 / a = a
Jika, a = 1 / aatau a= 1 / a , a ≠ 0
Untuk a = 0, maka a = a= 0 tidak didefisinikan.
Perlu diperhatikan bahwa semua rumus-rumus yang berlaku pada pangkat bulat positif juga berlaku pada pangkat nol dan bulat negatif.
Contoh Soal
1. (3p q) / (3pq) = ...
Pembahasan
(3p q) / (3pq) = (3pq) / (3pq
= 3pq
= 81p
C. Pangkat Rasional
Bilangan pangkat rasional (disebut juga pecahan) adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk m/n dengan ketentuan m, n adalah bilangan bulat, n ≠ 0. Dengan kata lain bilangan berpangkat rasional adalah bilangan berpangkat bilangan pecahan.
Pangkat rasional secara umum dapat ditulis:
a a = ( a) ⇒ sifat bilangan pangkat bulat a = √(a) Jadi, a = √(a), dengan a ∈ R, m dan n bilangan bulat positif.
Rumus-rumus yang berlaku pada pangkat bulat positif, bulat negatif, dan nol berlaku juga pada pangkat rasional.
Berdasarkan rumus-rumus tersebut, maka bentuk a dapat diartikan sebagai:
Secara formal dituliskan:
Contoh Soal
1. √(0,125) + 1 / ( √(32) + (0,5) = ...
Pembahasan
√(0,125) + 1 / ( √(32) + (0,5) = √(0,5) + 1 / ( √(2) + (0,5)
= (0,5) + 1 / (2) + (0,5)
= 0,5 + 1/2 + 0,25
= 1,25
D. Bentuk Akar
Bilangan irrasional adalah bilangan
real (riil) yang tidak dapat dinyatakan dan ditulis dalam bentuk p/q, dengan
kententuan p, q adalah bilangan bulat, q ≠ 0.
Bilangan-bilangan seperti√2, √5,
√12, ³√4 termasuk bilangan irrasional, karena hasil akan dari bilangan-bilangan
tersebut bukan merupakan bilangan rasional. Bilangan-bilangan semacam itu disebut
bilangan bentuk akar. Jika, dapat disimpulkan bahwa bilangan bentuk
akar adalah akar-akar dari suatu bilangan real positif yang hasilnya merupakan
bilangan.
Perhatikanlan bilangan-bilangan berikut ini !
√4, √(2,25), √9, √(16), ³√(27),
∜(81)
Apakah bilangan-bilangan di atas termasuk
bentuk akar? Ternyata bilangan-bilangan tersebut bukan merupakan bentuk akar,
sebab:
√4
= 2
√(2,25) = 1,5
√9
= 3 bilangan
rasional
√(16) = 4
³√(27)
= 3
∜(81) = 3
1. Menyederhanakan Bentuk Akar
Bilangan bentuk akar dapat disederhanakan dengan
menggunakan sifat perkalian akar di bawah ini. Untuk a, b suatu bilangan bulat
positif berlaku:
ⁿ√(a
× b ) = ⁿ√a
× ⁿ√b
2. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Untuk a, b ∈
R adalah bilangan rasional non negatif berlaku:
a√c
+ b√c = (a + b) √c
a√c
− b√c = (a − b) √c
3. Perkalian Bentuk Akar
Untuk a, b bilangan rasional non negatif berlaku:
√a
× √b = √(a × b )
4. Pembagian Bentuk Akar
Untuk a, b bilangan rasional non negatif
berlaku:
√a
/ √b = √(a/b)
5. Sifat-sifat lain yang juga bilangan bantuk
akar
Untuk a, b ∈
R dan c, d ∈ bilangan
rasional non negatif berlaku:
6. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar
Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar
artinya menjadikan penyebut pecahan bentuk akar menjadi bilangan rasional.
Contoh Soal
1. (√7 +√2 )( √7−
√2 ) = ...
Pembahasan
(√7 +√2 )( √7−
√2 ) = √7(√7
− √2 ) + √2( √7−
√2 ) = = +√2 )( √7−
√2 ) =
= 7 −
√7 .√2 + √2
√7 − 2
= 7 −
2 − √14 +√14
= 5
2. Bentuk 13 / (4 − √3 ) sama
dengan ...
Pembahasan
13 / (4 − √3 ) = 13
/ (4 − √3 ) × {(4 + √3)/(4+√3)}
= {13 (4 + √3 )} / (4²
− 3 )
= {13
(4 + √3 )} / (16 − 3 )
= 13 / 13 (4 + √3 )
= (4 + √3 )
E. Persamaan
Eksponen
Persamaan eksponen dalam x adalah
suatu persamaan yang eksponennya paling sedikit memuat suatu fungsi x.
1. Jika a = a (a > 0 dan a ≠ 1), maka f (x) = p
2. Jika a = a (a > 0 dan a ≠ 1), maka f (x) = g(x)
3. Jika a= b(a > 0, a ≠1, b >0, b ≠ 0, dan a ≠ b), maka f (x) = 0
4. Jika {h(x)}= {h(x)},
maka kemungkinannya adalah:
a. f (x) = g (x)
b. h (x) = 1
c. h (x) = 0, asalkan f (x) dan g (x)
keduanya positif
d. h (x) = −1,
asalkan f (x) dan g (x) keduanya ganjil atau f (x) dan g (x)
keduanya genap.
5. Jika {f(x)}= {g(x),
maka kemungkinannya adalah:
a. f(x) = g(x)
b. h(x) = 0, asalkan f(x) dan g(x) ≠ 0
Contoh Soal
1. Akar dari persamaan 2= 32 adalah ...
Pembahasan
2= 32
⇔ 2= 2
⇔ 3x – 1 = 5
⇔ 3x = 6
⇔ x = 2
F. Fungsi
Eksponen
Fungsi eksponen adalah fungsi yang
memetakan setiap bilangan real (riil) x menjadi ax. Bentuk umum
fungsi eksponen ditulis:
f(x) = a, dengan a > 0, a
≠ 1, dan x ∈ R
Bilangan a disebut bilangan pokok
atau basis. Karena a > 0, maka nilai fungsi f(x) = ax selalu
positif atau selalu berada di atas sumbu X.
1. Grafik
Fungsi Eksponen dengan Basis a > 1
Fungsi eksponen y = f(x) = ax dengan a > 1 merupakan
fungsi monoton naik sebab untuk
x2 > x1 maka a> a.
2. Grafik
Fungsi Eksponen dengan Basis 0 < a < 1
Fungsi eksponen y = f(x) = ax dengan 0 < a < 1
merupakan fungsi turun, sebab untuk
x2 > x1 maka ax2 < a.
G.
Pertidaksamaan Eksponen
Jika a> a,
maka:
1. f(x) > g(x), a > 1
2. f(x) < g(x), 0 < a < 1
Sumber
Labels:
Matematika
Thanks for reading Eksponen (Pangkat) dan Bentuk Akar - 1. Please share...!
