A. Sistem Persamaan Linear
1. Persamaan
Linear
a. Persamaan
Linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama
dengan dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan
linear satu variabel.
b. Persamaan Linear dua variabel adalah persamaan yang
mengandung variabel dengan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu.
Bentuk umum persamaan linear dua variabel.
ax + by = c, dengan a ≠ 0, b ≠ 0
2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sistem persamaan linear dua
variabel adalah sistem persamaan yang mengandung paling sedikit sepasang (dua
buah) persamaan linear dua variabel yang hanya mempunyai satu penyelesaiam.
Sistem
persamaan linear dua variabel dengan variabel x dan y secara umum ditulis
sebagai berikut.
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
dengan
a₁,b₁,c₁,a₂,b₂, dan c₂ ∈ R
Untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat digunakan
metode-metode di bawah ini.
- Metode grafik
- Metode substitusi
- Metode eliminasi
- Metode eliminasi-substitusi
a.
Metode Grafik
Metode
Grafik adalah metode penyelesaian SPLDV yang
dilakukan dengan cara menggambar grafik dari kedua persamaan tersebut yang
kemudian menetukan titik potongnya.
Langkah-langkah
menggambar
1. Menggambar grafik masing-masing persamaan
pada sebuah bidang Cartesius dengan menggunakan metode titik potong sumbu.
2. Bila kedua garis itu berpotongan pada
sebuah titik maka himpunan penyelesainnya tepat memiliki sebuah anggota, yaitu
{(x,y)}
3. Bila kedua garis itu sejajar (tidak
berpotong) maka himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota, { } atau Ø
4. Bila kedua garis itu berimpit, maka himpunan
penyelesaiannya memiliki anggota yang tak hingga banyaknya.
b. Metode
Substitusi
Metode
subtitisi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggantikan satu
variabel dengan variabel dari persamaan yang lain.
Langkat-langkat
menggunakan metode substitusi
- Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x
- Substitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lainnya.
Contoh
Soal
Himpunan
penyelesaian sistem persamaan: 4x + y = 12
2x + y = 8 adalah ...
Pembahasan
Dari
persamaan
2x +
y = 8 ⇔ y = 8 –
2x .......................................
(1)
Persamaan (1) disubstitusikan ke
persamaan 4x + y = 12, diperoleh:
4x + (8 – 2x) = 12 ⇔ 4x + 8 – 2x = 12
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2
Substitusikan
nilai x = 2 ke persamaan (1), maka diperoleh:
y = 8 – 2 (2)
y = 8 – 4
y
= 4
Jadi, himpunan penyelesaian sistem
persamaan tersebut adalah {(2,4)}.
c.
Metode Eliminasi
Metode
eliminasi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan
cara menhilangkan salah satu variabel. Langkah-langkah menggunakan metode
eliminasi.
1)
Perhatikan koefisien x (atau y)
a) Jika koefisiennya
sama:
i) Lakukan operasi
pengurangan untuk tanda yang sama
ii) Lakukan operasi penjumlahan untuk tanda yang berbeda
b) Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya
dengan cara mengalikan
persamaan-persamaan dengan
konstanta yang sesuai, lalu lakukan operasi
penjumlah atau pengurangan seperti
pada langkah sebelumnya.
2)
Lakukan kembali langkah (1) untuk mengeliminasi variabel lainnya.
d.
Metode Eliminasi – Substitusi
Metode
eliminasi-substitusi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan
cara menggabungkan metode eleminasi dan metode substitusi. Metode eliminasi
digunakan untuk mendapatkan variabel pertama, dan hasilnya disubstitusikan ke
persamaan untuk mendapatkan variabel kedua.
3.
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Bentuk
umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y dan z adalah.
a₁x + b₁y + c₁z
= d₁
a₂x +
b₂y + c₂z = d₂
a₃x +
b₃y + c₃z = d₃
dengan a₁, a₂,
a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃, d₁, d₂ dan d₃ adalah bilangan-bilangan real.
Menyelesaikan
SPLTV berarti menemukan nilai variabel x, t, dan z yang memenuhi ketiga
persamaan linear tersebut. Himpunan penyelesainnya adalah {(x,y,z)}. Untuk
menyelesaikan SPLTV dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti pada SPLTV,
hanya saja pada SPLTV perhitungannya lebih banyak.
Untuk
mempermudah penyelesaian SPLTV lebih baik menggunakan metode
eliminasi-substitusi (gabungan).
B. Sistem
Persamaan Linear dan Kuadrat Variabel (SPLKDV)
Bentuk umum
sistem persamaan linear dan kuadrat dua veriabel dengan variabel x dan y adalah
...
y = ax + b (bentuk linear)
y = px² + qx +
r (bentuk kuadrat)
dengan a, b, p,
q, r adalah bilangan real.
a. Substitusikan y = ax + b ke y = px² + qx + r sehingga berbentuk
persamaan kuadrat
b. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk, yakni x₁ dan
x₂
c. Substitusikan x₁ dan x₂ ke persamaan bentuk linear untuk
mendapatkan y₁ dan y₂, sehingga diperoleh himpunan penyelesaian {(x₁,y₁)},
{(x₂,y₂)}.
Himpunan
penyelesaian antara persamaan bentuk linear dan bentuk kuarat memiliki tiga
kemungkinan, yakni:
a. Jika D > 0, maka garis dan parabola berpotongan
di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaian.
b. Jika D = 0, maka garis dan parabola berpotongan
di satu titik yang merupakan himpukan penyelesaian.
c. Jika D < 0, maka garis dan parabola tidak
berpotongan sehingga tidak mempunyai himpunan penyelesaian atau { }.
Contoh
Soal
Himpunan
penyelesaian dari sistem persamaan:
y = x – 3
y
= x² −
4x + 3 adalah ...
Pembahasan
Substitusikan
y = x –
3 ke y = x² −
4x + 3, diperoleh:
x –
3 = x² −
4x + 3
⇔ − x² + 5x – 6 = 0
⇔ x² – 5x + 6 = 0
⇔ (x – 2) (x – 3) = 0
⇔ x₁ = 2 atau x₂ =
3
Untuk x₁ = x²
=> y₁ = 2 −3
= −
1
Untuk x₂ = 3 => y₂
= 3 –
3 = 0
Jadi, himpunan penyelesaian {(2, −1), (3, 0)}.
C.
Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)
Sistem
persamaan kuadrat dengan variabel x dan y secara umum dinyatakan sebagai
berikut:
y = ax² + bx + c
y = px² + qx + r
dengan a, b, c,
p, q, r adalah bilangan real.
Langkah-langkah
menyelesaikan SPK
a. Substitusikan persamaan yang satu ke
persamaan yang lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
b. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang
terbentuk sehingga diperoleh himpunan penyelesaian: {(x₁,
y₁) , (x₂, y₂}.
Himpunan penyelesaian sistem persamaan
kuadrat memiliki enam kemungkinan, yaitu:
1. Jika D > 0, maka kedua parabola berpotongan di dua
titik yang merupakan
himpunan
penyelesaian.
2. Jika D = 0, maka kedua parabola berpotongan di satu titik
(bersinggungan) yang
merupakan himpunan
penyelesaian.
3. Jika D < 0, maka kedua parabola tidak berpotongan
sehingga tidak mempunyai
himpunan
penyelesaian atau { }.
4. Jika a = p , b ≠ q, maka kedua parabola berpotongan di satu
titik yang merupakan
himpunan
penyelesaian.
5. Jika a = p , b = q dan c ≠ r, maka kedua
parabola tidak berpotongan sehingga
himpunan
penyelesaian { }.
6. Jika a = p , b ≠ q dan c = r, maka kedua
parabola berimpit sehingga anggota himpunan
penyelesaiannya
tak berhingga banyaknya.
Himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan
y
= x² −
2x – 3
y
= x² −
2x + 5 adalah ...
Pembahasan
x² −
2x – 3 = x² −
2x + 5
⇔ 2x² – 8 = 0
⇔ 2(x² – 4) = 0
⇔ 2 (x + 2) (x – 2) = 0
x = − 2 atau x = 2
untuk x = − 2 ⇒ y =
x²
– 2x – 3
⇔ y = (−2)² − 2 (−2) −3
⇔ y = 4 + 4 – 3
⇔ y = 5
untuk x = 2 ⇒ y = x² − 2x – 3
⇔ y =
(2)² −
2 (2) – 3
⇔ y = 4 – 4 – 3
⇔ y = − 3
Jika, himpunan penyelengannya adalah {(−2,5),
(2,−3)}.
Sumber
Labels:
Matematika
Thanks for reading Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat - 1. Please share...!
