A. Macam-Macam Bangun Ruang
Beberapa macam bangun ruang yang akan kita
pelajari adalah kubus, balok, limas, kerucut, dan bola.
- Kubus adalah bangun ruang yang di batasi oleh enam persegi kongruen
- Balok adalah bangun ruang yang di batasi oleh enam persegi panjang
- Limas adalah bangun ruang yang di batasi oleh sebuah segi-n dan segitiga-segitiga sebagai sisi tegaknya
- Bola adalah bangun ruang yang di batasi oleh sebuah sisi lengkung.
B. Volum Luas Permukaan Bangun Ruang
1. Kubus
Kubus ABCD.EFGH di samping mempunyai panjang
rusuk a.
Panjang
diagonal bidang = a√2
Panjang
diagonal ruang = a√3
Volum
kubus = a³
Luas
permukaan kubus = 6a²
2. Balok
Balok ABCD.EFGH DI samping mempunyai panjang p, lebar l dan
tinggi t.
Volum balok = p × l
× t
Luas permukaan
balok = 2(p.l + l.t + p.t)
3. Limas
Bangun diatas adalah contoh limas segi-3, segi-4, dan segi-5
Volum limas = ⅓
× luas alas × tinggi
Luas permukaan
limas = Luas alas + luas bidang/sisi tegak
Bidang Empat
Bidang empat adalah salah satu jenis limas. Bidang empat disebut
juga limas segi-3 yaitu bangun ruang yang dibatasi oleh 4 buah bidang datar
yang berbentuk segitiga.
Terdapat enam macam bidang empat, yaitu:
a. Bidang empat
sembarang, yaitu bidang empat dengan bangun segitiga sembarang dan titik
puncaknya sembarang.
b. Bidang empat
tegak, yaitu bidang empat dengan salah satu rusuknya tegak lurus pada bidang
alas atau proyeksi titik puncak tepat pada salah satu titik sudut bidang alas.
c. Bidang empat
siku-siku yaitu bidang empat dengan ketiga buah rusuk yang bertemu pada satu
titik salin tegak lurus.
Bidang empat siku-siku (TA ⟂ AC, TA ⟂ AB, CA ⟂ AB)
d.
Bidang empat
ortogonal, yaitu bidang empat dengan sepasang rusuk yang berhadapan dan
bersilang saling tegak luruk. TA bersilang tegak lurus dengan BC, TB bersilang
tegak lurus dengan AC, TC bersilang tegak lurus dengan AB.
e.
Bidang empat
beraturan, yaitu bidang empat yang semua rusuknya sama panjang. Empat bidang
segitiganya merupakan segitiga sama sisi.
Bidang empat beraturan (TA = TB = TC = AB = BC
= CA)
f.
Bidang empat
sama sisi, yaitu suatu bidang empat dengan keempat bidang segitiga kongruen.
∆TAB ≅ ∆TBC
≅ ∆TAC
≅ ∆ABC
4. Kerucut
Kerucut di samping mempunyai panjang jari-jari
alas r, tinggi t, dan panjang garis pelukis s. Jari-jari, tinggi dan garis
pelukis mempunyai hubungan:
s²
= r² + t²
Volum
kerucut = ⅓.πr².t
Luas
permukaan kerucut = πr² + πrs
Bola disamping ini mempunyai panjang jari-jari
r
Volum
bola = 4/3 πr³
Luas
permukaan bola = 4πr²
C. Kedudukan Titik, Garis dan Bidang Pada
Bangun Ruang
Titik yaitu suatu
noktah yang hanya ditentukan letaknya, dan tidak mempunyai ukuran. Titik
biasanya ditandai dengan huruf kapital, misalnya titik A, titik B, titik P,
titik Q dan seterusnya.
A P Q
• •
•
B
•
Garis adalah
himpunan titik-titik. Garis tidak memiliki batas ke kiri atau ke kanan. Oleh
karena itu, garis cukup digambar wakilnya saja. Sebuah garis dinamai dengan
huruf kecil, misalnya garis g, garis h, dan seterusnya, atau dengan nama titik
yang dihubungkan, misalnya ruas garis AB.
Bidang adalah
perluasan dari beberapa titik atau garis, yang mempunyai ukuran panjang dan
lebar. Sebuah bidang cukup digambar wakilnya saja, yaitu suatu daerah terbatas
yang terletak pada bidang.
Bidang pada gambar di samping dapat disebut
bidang PQRS karena bidang PQRS
termuat di dalam bidang tersebut. Bidang di atas juga dapat pula disebut bidang
α.
1. Kedudukan Tituk Terdapat Garis
- Sebuah titik P dikatakan terletak pada garis g, jika garis g melalui titik P.
- Sebuah titik P dikatakan diluar garis g, jika garis g tidak melalui titik P.
2. Kedudukan Titik Terdapat Bidang
- Sebuah titik P dikatakan terletak pada bidang a, jika bidang a melalui titik P.
- Sebuah titik P dikatakan diluar bidang α, jika bidang α tidak melalui titik P.
3. Kedudukan Dua Garis
- Garis g dan garis h dikatakan berimpit jika setiap titik pada garis g juga terletak pada garis h, dan sebaliknya.
- Garis g dan garis h dikatakan saling berpotongan jika kedua garis tersebut memiliki satu titik persakutuan yang disebut titik potong. Dua garis hanya dapat berpotongan jika terletak pada suatu bidang yang sama.
- Garis g dan garis h dikatakan sejajar jika kedua garis tidak memiliki titik persekutuan.
- Garis g dan garis h dikatakan bersilangan jika kedua garis tidak memiliki titik persekutuan, tidak sejajar dan tidak terletak pada satu bidang yang sama.
4. Kedudukan Garis dan Bidang
- Garis g dikatakan terletak pada bidang α jika paling sedikit dua titik pada garis g terletak pada bidang α
- Garis g dikatakan sejajar bidang α jika garis g sejajar dengan garis pada bidang α.
- Garis g dikatakan menembus
5. Kedudukan Dua Bidang
- Bidang α dan bidang dikatakan β dikatakan bermpit jika kedua bidang mempunyai daerah persekutuan
- Bidang α dan bidang β dikatakan sejajar jika kedua bidang tidak mempunyai titik persekutuan
- Bidang α dan bidang β dikatakan berpotongan jika bidang α dan bidang β tidak sejajar.
- Dalam hal ini, perpotongan bidang α dan bidang β akan membentuk sebuah garis potong bidang α dan bidang β yang dinotasikan dengan (α, β).
D. Proyeksi
1. Proyeksi Titik dan Garis pada Garis
Proyeksi ruas AB pada garis g adalah bayangan
ruas garis AB pada garis g oleh sinar yang tegak lurus garis g.
Ruas garis A′ B′
adalah proyeksi ruas AB pada garis g. Jika garis AB dengan panjang a membentuk
sudut θ terhadap garis g, maka panjang proyeksi AB, yaitu A′ B′ ditentukan oleh:
Perhatikan
gambar berikut: a. cos θ
2. Proyeksi Titik pada Bidang
Proyeksi sebuah titik A pada bidang α adalah
titik tembus garis yang tegak lurus dari A pada bidang α.
Pada gambar terlihat:
A′ = Proyeksi A pada bidang α
A
A′ = Jarak titik A terhadap bidang α
Α = Bidang proyeksi
3. Proyeksi Garis pada Bidang
a. Jika Garis Sejajar Bidang
Ruas garis AB diproyeksi pada bidang α. Ruas
garis A′ B′
merupakan proyeksi ruas garis AB pada bidang α.
Panjang
poyeksi AB = panjang A′ B′
b. Jika Garis Tegak Lurus Bidang
Ruas garis AB tegak lurus terhadap bidang α.
Proyeksi ruas garis AB pada bidang α merupakan satu titik, yaitu titik B. Jadi
titik B adalah proyeksi ruas garis AB pada bidang α.
c. Jika Garis Memotong Bidang
Ruas garis AB memotong bidang α di B. Proyeksi
ruas garis AB pada bidang α adalah A′ B. Jadi,
Panjang
proyeksi AB = panjang A′ B
E. Jarak
Pada Bangun Ruang
1. Jarak
Antara Dua Titik
Jarak
titik A ke titik B sama dengan panjang ruang garis AB, yang ditentukan dengan
teorema Pythagoras, yaitu:
AB = √(x² + y²)
2. Jarak Titik Ke Garis
a. Jika Titik dan Garis Terletak pada Satu
Bidang
Titik A dan garis g terletak pada bidang α.
Untuk menentukan jarak titik A ke garis g yaitu:
1.
Buatlah garis h
yang melalui titik A dan memotong tegak lurus garis g di B
2.
Titik B adalah
proyek titik A pada garis g. AB adalah jarak antara titik A dan garis g.
b. Jika Titik dan Garis Tidak pada Satu Bidang
Garis g terletak pada bidang α. Untuk mentukan jarak
antara titik A dan garis g, yaitu:
1.
Buatlah garis
AB yang tegak lurus bidang α.
2.
Buatlah garis
BC yang tegak lurus garis g.
3.
AC adalah jarak
antara titik A dan garis g.
3. Jarak Titik ke Bidang
Titik A terletak di luar bidang α. Untuk
menentukan jarak antara titik A dan bidang
α adalah sebagai berikut.
1. Buatlah garis g yang melalui titik A dan
tegak lurus bidang α
2. Jika garis g menembus bidang di B, maka AB
adalah jarak antara titik A dan bidang α.
4. Jarak Dua Garis yang sejajar
Garis g sejajar dengan garis h dan keduanya
terletak pada bidang α. Untuk menentukan jarak garis g dan h, yaitu:
1.
Buatlah garis l
yang tegak lurus kedua garis g dan garis h
2.
Garis l
memotong garis g di titik A dan garis h di titik AA′
adalah jarak antara garisg dan garis h.
5. Jarak antara Garis dan Bidan yang Sejajar
Garis g sejajar dengan bidang α. Berikut ini
adalah untuk menentukan jarak antara garis g dan bidang α.
1.
Buatlah garis
sembarang h melalui titik A di garis g dan tegak lurus bidang α. Garis h
menembus bidang α di titik A′
2.
AA′
adalah jarak antara garis g dan bidang α.
F. Sudut Pada Bangun Ruang
1. Sudut antara Dua Garis Bersilangan
Garis g menembus bidang α di titik A, garis h
terletak pada bidang α, tetapi tidak melalui A, garis h′
sejajar dengan garis h melalui A dan garis g′ sejajar dengan garis g melalui B.
Maka
sudut antara garis g dan garis h sama dengan sudut antara g dan h′ atau antara g′ dan h′.
Jadi, ∠(g,h)
= ∠(g,h′) = ∠(g′,h) = θ.
Secara sederhana kita dapat mamperoleh sudut
antara dua garis bersilangan dengan cara menggeser salah satu garis sedemikian
rupa sehilangan kedua garis tersebut saling berpotongan. Sudut yang terbentuk
setelah penggeseran adalah sudut antara dua garis bersilangan yang dimaksud.
Pada gambar di samping, garis g′
adalah garis hasil pergeseran garis g sehinnga
berpotongan dengan garis h. Demikian juga dengan garis h′.
2. Sudut
antara Garis dan Bidang
Garis g
menebus bidang α di titik A. titik P terletak pada garis g.
Proyeksi AP pada bidang α adalah AP′. Sudut antara
garis g dengan bidang αsama dengan AP′ yaitu ∠P′AP
= θ.
3. Sudut antara Dua Bidang
Garis g terletak pada bidang α, dan tegak lurus
dengan (α,β) di P. Garis h terletak pada bidang β dan tegak lurus (α,β) di P. Sudut antara
bidang α dan bidang β adalah θ, atau ∠(α,β)
= θ.
G. Irisan Bangun Ruang
Irisan antara sebuah bidang dengan sebuah
sebuah bangun ruang adalah daerah yang dibatasi oleh garis potong – garis potong
antara bidang pengiris dengan semua sisi bangun ruang yang terpotong oleh
bidang tersebut. Beberapa hal berikut ini adalah prinsip-prinsip yang perlu
diperhatikan dalam melukiskan irisan bangun ruang.
1. Terbentuknya Sebuah Bidang
Sebuah titik dapat dibentuk apabila terdapat:
a.
Tidga titik yang titik tidak segaris
b.
Sebuah garis dan sebuat titik di luar garis itu
c.
Dua buah garis yang berpotongan
d.
Dua buah garis sejajar
2. Garis Potong antara Dua Bidang
Garis potong antara dua bidang adalah sebuah
garis yang terletak pada dua bidang yang sama. Garis potong dissebut juga garis
persekutuan.
Pada gambar di samping garis AA′ adalah gars potong antara
bidang α dan bidang β.
Cara menetukan garis potong antara bidang α dan
bidang β adalah sebagai berikut.
1.
Tentukan dua
titik persekutuan dari bidang α dan β, yaitu titik yang terletak pada bidang α
dan sekaligus pada bidang β.
2.
Hubungkan kedua
titik tersebut dengan sebuah garis. Garis yang terbentuk adalah garis potong
yang dimaksud.
Sebagai contoh akan kita tentukan garis potong
antara bidang ACGE dengan bidang BDG pada kubus ABCD.EFGH berikut ini.
Titik G dan T adalah titik persekutuan
antarabidang ACGE dan bidang BDG. Garis GT adalah garis potong antara bidang
ACGE dan bidang BDG.
3. Titik Tembus Sebuah Garis pada Sebuah Bidang
Titik tembus atau titik potong sebuah bidang
adalah titik persekutuan antara garis dan bidang itu. Misalkan kita akan
mentukan titik tembus garis g dan bidang α.
Cara menetukan titik tembus garis g dan bidang α
sebagai berikut:
1.
Buatlan bidang β
melalui garis g
2.
Tentukan garis
potong antara bidang α dan bidang β, (α,β)
3.
Titik potong
antara garis g dan (α,β)
adalah titik tembus antara garis g dan bidang α.
Dalam melukis irisan bangun ruang kita perlu
membuat sumbu afinis atau garis dasar. Sumbu afinitas adalah garis potong
bidang pengiris dengan bidang alas bangun ruang.
Sumber
Labels:
Matematika
Thanks for reading Dimensi Tiga - 1. Please share...!
