Statistika - 1

Rabu, 06 November 2019

A. Pengertian Dasar Statistika

Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan, penganalisisannya dan penarikan kesimpulan berdasarkan data dan penganalisisan yang dilakukan. Sedangkan statistik adalah kumpulan data, bilangan maupun non-bilangan yang disusun dalam tabel dan atau diagram, yang menggambarkan atau melukiskan suatu masalah.

Secara umum, statistika dibagi menjadi dua fase, yaitu:

1.     Statistika Deskritif yaitu fase statistika yang hanya meliputi kegiatan-kegiatan mengumpulkan data, menyusun, dan menggambarkan data dalam bentuk tabel atau grafik serta menganalisis data yang diperoleh tanpa menarik kesimpulan terhadap populasi secara umum.

2.     Statistika Induktif atau Inferensi yaitu fase statistika lebih lanjut dimana data yang telah diperoleh dianalisis agar diperoleh kesimpulan secara umum.

Berikut ini adalah beberapa istilah yang sering dijumpai dalam kegiatan statistika:

a.      Data atau data statistika adalah kumpulan keterangan atau informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan. Data dapat berupa bilangan, yang disebut data kuantitatif, atau berupa kategori (atribut), seperti rusak, baik, berhasil, gagal, yang disebut dengan data kualitatif.

Data kuantitatif dibagi menjadi dua jenis, yaitu:

1. Data cacahan atau data diskrit yaitu data yang diperoleh dengan cara menghitung atau mencacah.
2. Data ukuran atau data kontinu yaitu data yang diperoleh dengan cara mengukur.

b.     Populasi adalah keseluruhan objek yang akan diteliti.

c.      Sampel adalah sebagian anggota populasi yang data benar-benar diamati atau diteliti.

B. Penyajian Data

Untuk keperluan laporan dan atau analisa lebih lanjut, data yang telah dikumpulkan perlu disusun dan disajikan dalam bentuk yang jelas dan baik. Secara umum ada dua cara penyajian data yaitu dengan tabel (daftar) dan diagram (grafik).

1.     Tabel/Daftar

Bentuk atau bagan tabel pada umumnya mempunyai bagiam-bagian seperti kepala tabel, judul kolom, judul baris, badan tabel, sel tabel, dan catatan.

2.     Diagram/Grafik

Biasanya diagram atau grafik dibuat berdasarkan tabel yang telah dibuat. Berikut ini adalah macam-macam diagram yang sering digunakan.

a. Diagram Lambang atau Piktogram

Penyajian data statistik dengan menggunakan lukisan atau lambang dinamakan diagram lambang atau piktogram. Biasanya diagram lambang digunakan untuk penyajian data yang nilainya cukup besar dengan nilai-nilai data yang telah dibulatkan.

b. Diagram Batang

Diagram batang biasanya berbentuk batang-batang vertikal (tegak) atau horizontal (mendatar) dengan alasnya menyatakan kategori dan tingginya menyatakan kuantitas datang berupakategori atau atribut.

c. Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran menggunakan gambar yang berbentuk daerah lingkaran yang telah dibagi ke dalam sektor-sektor atau juring-juring. Tiap sektor melukiskan kategori data. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu kita mencari proporsi atau perbandingan dari jumlah data keseluruhan, kemudian perbandingan yang telah diperoleh digunakan untuk mencari luas atau sudul pusat sektor atau juring untuk kategori tersebut.

d. Diagram Garis

Diagram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan suatu data yang berkelanjutan dalam suatu kurun waktu tertentu. Diagram garis terdiri atas sumbu datar dan sumbu tegak yang saling tegak lurus. Sumbu datar menyatakan waktu sedangkan sumbu tegak melukiskan/menunjukkan nilai data.

C. Daftar Distribusi Frekuensi

Untuk data yang banyak, agar dapat memberikan informasi yang jelas dan mudah dibaca maka sebaiknya disusun secara berkelompok ke dalam sebuah daftar yang dinamakan daftar ditribusi frekuensi. Di dalam distribusi frekuensi data disusun secara berkelompok ke dalam kelas-kelas interval yang berbeda.

Berikut ini adalah contoh daftar distribusi ftekuensi.

Tinggi Badan (cm)	Banyak Siswa (f)
145 – 149 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174	3 6 7 25 12 7

Berikut ini adalah istilah yang digunakan pada daftar distribusi frekueansi.

1.     Kelas Interval

Dalam daftar distribusi frekuensi, banyak data dikumpulkan dalam kelompok berbentuk a – b dimasukkan data yang bernilai mulai dari a sampai dengan b. Urutan kelas interval disusun mulai dari data terkecil sampai dengan terbesar. Kelas interval 145 – 149 dinamakan kelas interval pertama; 150 – 154 kelas interval kedua, ... , kelas interval 170 – 174 dinamakan kelas interval keenam.

2.     Frekueansi (f)

Frekuensi adalah bilangan yang menyatakan banyak data pada setiap kelas interval.

3.     Batas Kelas

Batas kelas adalah nilau-nilai ujung yang terdapat pada suatu kelas interval. Nilai ujung bawah pada suatu kelas interval dinamakan batas bawah kelas dan nilai ujung atasnya dinamakan batas atas kelas.

Misalnya: 145 – 149, maka batas bawah = 145 dan batas atas kelas = 149.

4.     Tepi Kelas

Tepi kelas bergantung pada ketelitian data yang gunakan, yaitu:

a. Jika data dicatat teliti hingga satuan, maka:

      • Tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,5

      • Tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,5

b. Jika data dicatat teliti hingga satu desimal, maka:

      • Tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,05

      • Tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,05

c. Jika data dicatat teliti hingga dua desimal, maka:

      • Tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,005

      • Tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,005

   Dan seterusnya.

5.     Panjang Kelas

Panjang kelas disebut juga ukuran kelas atau lebar kelas.

      Panjang kelas = Tepi atas – Tepi bawah.

D. Histogram dan Poligram Frekuensi

Untuk menyajikan data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi menjadi diagram, digunakan dua sumbu yang saling tegak lurus. Sumbu mendatar untuk menyatakan kelas-kelas interval, dimana yang ditulis pada sumbu mendatas adalah tepi bawah dan tepi kelas interval, sedangkan sumbu tegak untuk menyatakan frekuensi setiap kelas interval. Bentuk diagramnya seperti diagram batang, hanya saja letak batangnya berimpit satu sama lain. Diagram tersebut dinamakan histogram. Berikut ini adalah histogram dari data pada daftar distribusi terdahulu.

Apabila tiap sisi atas batang yang berdekatan dihubungkan dengan sebuah garis dan sisi terakhir dihubungkan dengan setengah jarak kelas interval pada sumbu mendatar, maka akan terbentuk poligon frekuensi. Berikut ini adalah poligon frekuensi dari data pada daftar distribusi frekuebsi terdahulu.

E. Ukuran Pemusatan Data

Ukuran Pemusatan data yang akan kita pelajari adalah rata-rata hitang (mean), modus, median.

1.      Rata-rata Hitung (mean)

Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut rataan atau rata-raa atau mean.

a. Menghitung Rata-rata dari Data Tunggal

Misalnya x₁, x₂, x₃,, ... , x_n adalah nilai data dari-nilai data dari sekumpulan data yang banyaknya n, maka rata-ratanya adalah:

                                 

              

atau

                    

     Dengan:

           

     n  = banyaknya data

     xᵢ = nilai data ke-i (i = 1, 2, 3 , ... , n)          

b. Menhitung Rata-rata dari Sekelompok yang Memiliki beberapa Nilai Data yang Sama

Apabila f_i adalah banyaknya yang bernilai x₁, f₂ adalah bamyaknya data yang bernilai x₂, ... , f_n adalah banyaknya data bernilai x_n, maka rata-rata dari seluruh data adalah:

                               

atau

                 

     Dengan:

           

     x_i  = nilai data ke-i (i = 1, 2, 3, ..., n)  

     fᵢ  =  frekuensi / banyaknya data yang bernilai xᵢ

c. Rata-rata Gabungan

Misalnyaadalah rata-rata dari kelompok data pertama dan f1 banyaknya data pada  kelompok itu;  adalah rata-rata dari kelompok data kedua dan f₂ banyaknya data pada kelompok itu; ... , x_n adalah rata-rata dari kelompok data ke-n dan f_n banyaknya data pada kelompok ke-n. Maka rata-rata dari semua data adalah:

                           

atau    

             

Dengan:

            x_i = rata-rata

       

            fᵢ  =  frekuensi / banyak data pada kelompok data ke-i

            n  = banyak kelompok data

d. Menghitung Rata-rata dari Sekelompok Data yang Telah Disusun dalam Daftar Distribusi Frekuensi

Dalam menghitung rata-rata dari data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi, pertama kita menganggap bahwa data-data itu tersebar secara merata dalam setiap kelasnya. Dengan anggapan ini kita dapat mengambil nilai tengah dari setiap kelas sebagai nilai rata-rata dari data yang termasuk dalam kelas tersebut.

Untuk menghitung rata-rata kita gunakan rumus:

        Dengan:

        x_i = nilai tengah kelas interval ke-i

        f_i  = frekuensi/banyak data kelas interval ke-i

        n  = banyaknya kelas interval

e. Memhitung Rata-rata Sementara

Misalkan  adalah rata-rata sementara yang dipilih dan d_i adalah simpanan tiap nilai data terhadap, maka:

                             

dengan x_i = nilai tengah kelas ke-i

Rata-rata sesungguhnya merupakan jumlah rata-rata sementara dengan simpangan rata-rata atau

Dengan demikian,

     Dengan:

    d_i  = simpangan nilai data ke-i, dimana

    x_i  = nilai tengah kelas interval ke-i

    f_i  = frekuensi/banyak data pada kelas interval ke-i

2.      Median

Median dari sekumpulkan data adalah nilai data yang letaknya atau posisinya berada ditengah-tengah data yang telah diurutkan dari nilai terkecil sampai terbesar. Median dilambangkan dengan M_e.

a. Menentukan Median Dari Data Tunggal

Misalnya x₁, x₂, ... , x_n adalah data yang telah diurutkan dari nilai terkecil sampai terbesar sehingga.

                        x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n

   • Jika n ganjil, median adalah nilai data ke (n + 1)/2, yaitu:

                                                   

  • Jika n genap, median adalah rata-rata dari ke n/2 dengan data ke (n + 1)/2, sehingga:

                                   

b. Menentukan Median dari Data yang Tersusun dalam Daftar Distribusi Frekuensi

Untuk menentukan median dari data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, kita dapat mengikuti tahapan berikut.

1) Mentukan letak median

          

          Median terletak pada nilai data ke n/2, dengan n adalah banyaknya nilai data.

      2) Menentukan kelas median

       Kelas median adalah kelas interval dimana median berada. Kelas median dapat ditentukan dengan bntuan tabel frekuensi kumulatif kurang dari, dimana kelas median adalah kelas yang frekuensi kumulatifnya ≥ n/2.

       3)      Menentukan nilai median, dengan menggunakan rumus:

                 

Dengan:

M_e = median

T_b  = Tepi bawah kelas median

F   = Frekuensi kumulatif (Jumlah frekuensi) sebelum kelas median

fe  = banyak data

p   = panjang kelas

3.      Median

Modus didefinisikan sebagai nilai data yang paling sering/banyak muncul atau nilai data yang frekuensinya paling besar.

a. Menentukan Modus dari Data Tunggal

Untuk menetukan modus dari data tunggal kita cukup mengurutkan data tersebut, kemudian mencari nilai data yang frekuensinya paling besar.

b. Menentukan Modus dari Sekelompok Data yang Tersusun Dalam Daftar Distribusi Frekuensi

Langkah-langkah menentukan modus dari sekelompok data yang tersusun dalam daftar distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.

1)      Menentukan kelas modus, yaitu kelas interval yang frekuensinya paling besar.

2)      Menentukan nilai modus, dengan rumus:

Dengan:

M_o = modus

T_b = tepi bawah kelas modus

b₁ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

b₂ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

p  = panjang kelas modus

F. Ukuran Letak Data

Ukuran letak adalah ukuran yang membagi urutan data menjadi beberapa kelompok sesuai dengan letak dalam urutan. Urutan letak data yang akan di bahas di sini adalah kuartil.

Kuartil

Kuartil adalah ukuran letak yang membagi data menjadi empat bagian yang sama sasuai dengan urutannya. Terdapat tiga macam kuartil, yaitu kuartil pertama atau kuartil bawah, kuartil kedua atau kuartil tengah dan kuartil ketiga atau kuartil atas. Masing-masing kuartil berturut-turut dinotasikan dengan Q₁ , Q₂ dan Q₃.

Apabila banyaknya data digambarkan sebagai garis bilangan, maka letak Q₁ , Q₂ dan Q₃ adalah sebagai berikut.

                           ¼     ↓      ¼    ↓      ¼      ↓   ¼

                        -----------------------------------------    

                                 Q₁           Q₂             Q₃

Dengan:

Qᵢ = kuartil ke-i

n  = banyaknya data

i  = 1, 2, 3

a. Menentukan Kuartil dari sekelompok Data Tinggal

Pada sekelompok data tunggal, letak kuartil ke-i (Qᵢ) ditentukan oleh:

                                 

Dengan:

Qᵢ = kuartil ke-i

n  = banyaknya data

i   = 1, 2, 3

b. Menentukan Kuartil Data yang Tersusun dalam Daftar Distribusi Frekuensi

Langkah-langkah menetukan nilai kuartil dari sekelompok data yang tersusun dalam daftar distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.

1)      Menentukan letak kuartal ke-i

2)      Menetukan kelas kuartil ke-i

Dalam menentukan kelas Qᵢ kita dapat menggunakan bantuan  daftar distribusi frekuensi  kumulatif kurang dari, dimana kelas Qᵢ adalah interval yang mempunyai frekuensi kumulatif  ≥ in/4              

3)      Menetukan nilai kuartil ke-i (Qᵢ) dengan rumus:

Dengan:

Qᵢ = Kuartil ke-i

T_b = Tepi bawah kelas kuartil ke-i

n = Banyaknya data

F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ke-i

f = Frekuensi kelas kuartil ke-i

p = Panjang kelas kuartil ke-i

G. Ukuran Penyebaran Data

Ukuran penyebaran data adalah ukuran yang menggambarkan bagaimana tersebarnya data kuantitatif. Beberapa ukuran penyebaran data yang akan dibahas adalah jangkauan (rentang), jangkauan antar kuartil, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku dan varians.

1.      Jangkauan,  Jangkaun Antara Kuartil dan Simpangan Kuartil

Jangkauan atau rentang adalah selisih antara nilai data maksimumdengan nilai data minimum. jadi bila x adalah nilai data, maka:

Jangkauan antara kuartil atau antara kuartil adalah selisih antara kuartil atas (Q₃) dengan kuartil bawah (Q₁) jadi,

                              JAK = Q₃ − Q₁

JAK = Jangkauan Antara Kuartil

Simpangan kuartil atau jangkuan semi antarskuartil adalah setengah dari jangkauan antara kuartil. Jadi,

                              SK = ½ . JAK

                  Atas

                              SK = ½ (Q₃ − Q₁)

Catatan : Rumus JAK dan SK di atas berlaku untuk sekelompok data tunggal dan sekempok data yang tersusun dalam daftar distribus frekuensi.

2.      Simpangan Rata-rata (Deviasi rata-rata)

   

a. Menentukan Simpangan Rata-rata dari Sekelompok Data Tunggal

Misalkan x₁, x₂, ... , xₙ adalah nilai sekelompok data. Apabila  adalah rata-rata dari data di atas, maka simpangan dari data x₁, x₂, ... , xₙ adalah:

                      

Besarnya simpangan dari seluruh data terhadap rata-ratanya adalah:

Jumlah simpangan 

Jika jumlah simpangan dibagi oleh banaknya data (n), maka diperoleh simpangan rata-rata (SR), yaitu:

    Atau

Dengan:

SR = Simpangan rata-rata

xᵢ = Nilai data ke-i

x  = Rata-rata

n  = Banyak data

i   = 1, 2, 3, ... , n.

b. Menetukan Simpangan Rata-rata Sekelompok Data yang Tersusun dalam Daftar Distribus Frekuensi

Untuk data yang tersusun dalam daftar distribusi frekuensi, simpangan rata-ratanya ditentukan dengan rumus:

     Dengan:

     SR = Simpangan rata-rata

     n  = Banyak data

     i   = banyak kelas interval

     xᵢ = Nilai tengah interval ke-i

     fᵢ  = frekuensi kelas interval ke-i

4.      Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Standar Deviasi)

a. Menentukan Ragam dan Simpangan Baku dari Sekelompok Data Tunggal

Misalkan x₁, x₂, ... , xₙ adalah nilai sekumpulan data, dan  rata-rata dari data tersebut. Ragam atau varians dari data tersebut ditentukan dengan rumus:

Sedangkan simpangan baku didefinisikan sebagai akar kuadrat dari ragam dan dirumuskan dengan:

    Dengan:

    S² = ragam, S = simpangan baku

    xᵢ = nilai data ke-i

    n  = Banyak data

    i   = banyak kelas interval

b. Menentukan Ragam dan Simpangan Baku dari Sekelompok Data yang Tersusun dalam Daftar Distribusi Frekuensi

Ragam atau varians dari data yang tersusun dalam daftar distribusi frekuensi dihitung dengan rumus:

Sedangkan simpangan bakunya adalah:

                                   

Dengan:

xᵢ = nilai tengah kelas interval ke-i

x = rata-rata

fᵢ  = frekuensi kelas interval ke-i

n  = Banyak data

i   = banyak kelas interval

H. Beberapa Hal Penting

Misalnya terdapat n buah data: x₁, x₂, ... , xₙ dengan x₁ ≤ x₂, ... ≤ xₙ.

Dari data di atas diperoleh:

Rata-rata                            

Median                       

                                     

                                   

Jangkauan

                                    Jangkauan = xₙ – x₁

Simpangan Kuartil

                                    SK = ½ (Q₃ – Q₁)

Simpangan Baku

                                 

  

Apabila data diubah menjadi ax₁ + b, ax₂ + b, ... , axₙ + b, maka diperoleh:

• Rata-rata baru
                          
        Jadi, rata-rata baru menjadi

                           

         

• Median Baru

                                  

                  

       

                 

                  

            Jadi, median baru menjadi

                        A . M_e + b

• Modus Baru = a . M₀ + b

• Jangkauan Baru        = (a xₙ + b) – (a x₁ + b)

                                    = a xₙ – ax₁

                                    = a (xₙ – x₁)

            Jadi, jangkauan Baru menjadi

                                    a (xₙ – x₁)

• Simpangan Kuartil baru

        SK baru   = ½ {(a.Q₃ + b) – (a.Q₁ + b)}

= ½  (a.Q₃ − a.Q₁)

= ½ a ( Q₃ − Q₁)

= a SK

          Jadi,

                                SK baru = a × SK

• Simpangan Baku Baru

                                     

            

              

            Jadi,

                           Simpangan Baku Baru = a × S

             

Labels: Matematika

Thanks for reading Statistika - 1. Please share...!