A. Perbandingan Trigonometri
Trigonometri berasal dari dua kata Yunani,
yaitu Trigonos yang berarti segitiga dan metron yang berarti ukuran.
Gambar berikut menunjukkan segitiga ABC siku-siku
di titik C dengan benar sudut A = αᵒ.
- Sisi di hadapan sudut siku-siku, yaitu sisi AB = c, disebut sisi miring
- Sisi di hadapan (di depan) sudut αᵒ, yaitu sisi BC = a, disebut sisi tegak
- Sisi di samping (apit) sudut αᵒ, yaitu sisi AC =b, disebut sisi datar.
Perbandingan trigonometri sudut A = αᵒ seperti
di bawah ini.
sin
αᵒ = a/c (demi = depan / miring) cosec
αᵒ = c/a
cos
αᵒ = b/c (sami = samping / miring) sec αᵒ = c/b
tan
αᵒ = a/c (desa = depan / samping) cotan αᵒ
= b/a
Nilai perbandingan trigonometri untuk
sudut-sudut istimewa diperlihatkan dalam tabel berikut ini.
0ᵒ
|
30ᵒ
|
45ᵒ
|
60ᵒ
|
90ᵒ
|
120ᵒ
|
135ᵒ
|
150ᵒ
|
180ᵒ
|
|
sin α
|
0
|
½
|
½√2
|
½√3
|
1
|
½√3
|
½√2
|
½√
|
0
|
cos α
|
1
|
½√3
|
½√2
|
½
|
0
|
-½
|
- ½√2
|
-½√3
|
-1
|
tan α
|
0
|
⅓√3
|
1
|
√3
|
-
|
-√3
|
- 1
|
-⅓√3
|
0
|
cosec α
|
-
|
2
|
√2
|
⅔√3
|
1
|
⅔√3
|
√2
|
-2
|
-
|
sec α
|
1
|
⅔√3
|
√2
|
2
|
-
|
-2
|
- √2
|
-⅔√3
|
-1
|
cotan α
|
-
|
√3
|
1
|
⅓√3
|
-
|
-⅓√3
|
- 1
|
-√3
|
-
|
210ᵒ
|
225ᵒ
|
240ᵒ
|
270ᵒ
|
300ᵒ
|
315ᵒ
|
330ᵒ
|
360ᵒ
|
|
sin α
|
-½
|
-½√2
|
-½√3
|
-1
|
-½√3
|
-½√2
|
-½
|
0
|
cos α
|
-½√3
|
-½√2
|
-½
|
0
|
½
|
½√2
|
½√3
|
1
|
tan α
|
⅓√3
|
1
|
√3
|
-
|
-√3
|
-1
|
-⅓√3
|
0
|
cosec α
|
-2
|
-√2
|
-⅔√3
|
-1
|
-⅔√3
|
-√2
|
-2
|
-
|
sec α
|
-⅔√3
|
-√2
|
-2
|
-
|
2
|
√2
|
⅔√3
|
1
|
cotan α
|
√3
|
1
|
⅓√3
|
-
|
-⅓√3
|
-1
|
-√3
|
-
|
2. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
Sumbu koordinat membagi bidang koordinat menjadi
empat yang disebut kuadran.
- Daerah X⁺OY⁺ disebut kuadran pertama (kuadran I). Besar sudutnya 0ᵒ < a < 90ᵒ
- Daerah Y⁺OX⁻ disebut kuadran kedua (kuadran II). Besar sudutnya 90ᵒ < a < 180ᵒ
- Daerah X⁻OY⁻ disebut kuadran ketiga (kuadran III). Besar sudutnya 180ᵒ < a < 270ᵒ
- Daerah Y⁻OX⁺ disebut kuadran keempat (kuadran IV). Besar sudutnya 270ᵒ < a < 360ᵒ
K. I -
Semua positif
K. II - sin, cosec positif
K. III -
tan, cotan positif
K. IV -
cos, sec positif
a. Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran
Pertama
∆ POQ dicerminkan terhadap garis y = x. Relasi
antara sudut αᵒ dengan sudut (90 – α)ᵒ adalah saling berpenyiku.
Rumus perbandingan trigonometri sudut αᵒ dengan
(90 – α)ᵒ.
sin
(90 – α)ᵒ = cos αᵒ cotan (90
– α)ᵒ = tan αᵒ
cos
(90 – α)ᵒ = sin αᵒ sec (90 –
α)ᵒ = cosec αᵒ
tan
(90 – α)ᵒ = cotan αᵒ cosec (90 –
α)ᵒ = sec αᵒ
b. Perbandingan Trigonometri di Kuadran Kedua
∆ POQ dicerminkan terhadap sumbu Y. Relasi
antara sudut αᵒ dengan sudut (180 – α)ᵒ adalah saling berpeluras.
Rumus perbandingan trigonometri sudut αᵒ dengan
(180 – α)ᵒ.
sin
(180 – α)ᵒ = sin αᵒ cosec (180 – α)ᵒ = cosen αᵒ
cos
(180 – α)ᵒ = – cos αᵒ sec
(180 – α)ᵒ = – sec αᵒ
tan
(180 – α)ᵒ = – tan αᵒ cotan
(180 – α)ᵒ = – cotan αᵒ
c. Perbandingan Trigonometri di Kuadran Ketiga
∆ POQ dicerminkan terhadap titik pangkal O.
Rumus perbandingan trigonometri sudut αᵒ dengan
(360 + α)ᵒ.
sin
(180 + α)ᵒ = – sin αᵒ cosec
(180 + α)ᵒ = – cosen αᵒ
cos
(180 + α)ᵒ = – cos αᵒ cosec
(180 + α)ᵒ = – sec αᵒ
tan
(180 + α)ᵒ = tan αᵒ cotan (180 + α)ᵒ = cotan αᵒ
d. Perbandingan Trigonometri di Kuadran Keempat
∆ POQ dicerminkan terhadap sumbu X.
Rumus perbandingan trigonometri sudut αᵒ dan (180
– α)ᵒ.
sin
(360 – α)ᵒ = – sin αᵒ cosec
(360 – α)ᵒ = – cosen αᵒ
cos
(360 – α)ᵒ = cos αᵒ sec
(360 – α)ᵒ = sec αᵒ
tan
(360 – α)ᵒ = – tan αᵒ cotan
(360 – α)ᵒ = – cotan αᵒ
Atau
sin
( – α)ᵒ = – sin αᵒ cosec ( – α)ᵒ = – cosen αᵒ
cos ( – α)ᵒ = cos αᵒ sec ( – α)ᵒ = sec αᵒ
tan ( – α)ᵒ = – tan αᵒ cotan ( – α)ᵒ = – cotan αᵒ
e. Perbandingan Trigonometri untuk Sudut yang
Lebih dari 360 ᵒ
Besar sudut satu putaran dengan 360ᵒ. Sehingga besar sudut yang lebih dari 360ᵒ,
misal (360 + α)ᵒ akan sama dengan αᵒ.
Rumus perbandingan trigonometri sudut αᵒ dan
sudut (αᵒ + 360)ᵒ
sin
(α + n . 360)ᵒ = sin αᵒ cosec
(α + n . 360)ᵒ = cosec αᵒ
cos
(α + n . 360)ᵒ = cos αᵒ sec
(α + n . 360)ᵒ = sec αᵒ
tan
(α + n . 360)ᵒ = tan αᵒ cotan
(α + n . 360)ᵒ = cotan αᵒ
3. Hubungan Perbandingan Trigonometri
a. Hubungan antara perbandingan-perbandingan
Trigonometri
sin
αᵒ = 1 / cosec αᵒ tan αᵒ = sin αᵒ / cos αᵒ
cos
αᵒ = 1 / sec αᵒ cotan
αᵒ = cos αᵒ / sin αᵒ
tan
αᵒ = 1 / cotan αᵒ
b. Identitas Trigonometri
cos² α
+ sin² α = 1
1
+ tan² α = sec ²
1
+ cotan² α = cosec² α
B. Satuan Ukuran Sudut
Satuan yang biasa digunakan untuk mengukur
sudut adalah derajat dan radian.
Sudut ½ putaran = 180² = π
radian
Sudut 1 putaran = 360² =
2π radian
Nilai pendekatan π ≈ 3,14 atau π = 22 / 7
1ᵒ
≈ 2 π / 360 radian ≈ 6,28 / 360 radian ≈
0,017 radian
1
radian = 180 / π ≈ 180ᵒ / 3,14 π ≈ 57,3ᵒ atau 57ᵒ18’
Rumus untuk mengubah satuan derajat ke radian
dan sebaliknya adalah sebagai berikut.
αᵒ
= (α × π/180) radian dan p radian = (p × 180/π)ᵒ
C. Koordinat
Kutub (Polar)
Letak suatu titik pada bidang X – Y dapat
disajikan dalam koordinat Cartesius, yaitu (x, y) atau dalam koordinat kutub,
yaitu (r, αᵒ), seperti terlihat paga gambar di bawah ini.
Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat
Kutub
Letak suatu titik P dalam koordinat Cartesius
dapat diubah ke dalam koordinat kutub, atau sebaliknya, dengan menggunakan
hubungan:
P
(x, y) ⇒ P (r, αᵒ)
r
= √(x² + y²)
αᵒ
ditentukan dengan tan αᵒ = y/x
P
(r, αᵒ) ⇒ P (x, y)
x
= r cos αᵒ dan y = r sin αᵒ
Jadi, P (r cos αᵒ, r sin αᵒ).
D. Rumus-Rumus Segitiga Dalam Trigonometri
1. Aturan Sinus dan Aturan Kosinus
a. Aturan Sinus
Pada setiap segitiga ABC berlaku ataran sinus.
a
/ sin A = b / sin B = c / sin C
Aturan
sinus digunakan jika diketahui 3 unsur yang secara berurutan yaitu:
1)
sisi – sudut – sudut (ss – sd – sd)
2)
sisi – sisi – sudut (ss – ss – sd)
3)
sudut – sisi – sudut (sd – ss – sd)
b. Aturan Kosinus
Pada setiap segitiga ABC berlaku aturan
kosinus.
a² = b² + c² –
2bc cos A
b² = a² + c² –
2ac cos B
c² = a² + b² –
2ab cos C
cos
A = (b² + c² –
a²) / 2bc
cos
B = (a² + c² –
b²) / 2ac
cos C = (a² + b² –
c²) / 2ab
Aturan kosinus digunakan jika diketahui 3 unsur berurutan yaitu:
1) sisi – sudut – sisi (ss – sd – ss)
2) sisi – sisi – sisi (ss – ss – ss)
2. Luas Segitiga
a. Luas Segitiga jika diketahui Alas dan tingginya
Apabila pada sebuah segitiga diketahui alas dan tingginya, maka
luas segitiga tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:
L = ½
× a × t
a
= alas segitiga, t = tinggi
b. Luas Segitiga jika diketahui Dua Sisi dan
Sudur Apit Dua Sisi tersebut (sisi-sudut-sisi)
Apabila pada sebuah segitiga diketahui dua sisi
dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi itu, maka luas segitiga tersebuat
dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:
L
= ½ ab sin C
L
= ½ ac sin B
L
= ½ bc sin A
2. Luas Segitiga
a. Luas Segitiga jika diketahui Alas dan
tingginya
Apabila pada sebuah segitiga diketahui alas dan
tingginya, maka luas segitiga tersebut dapat ditertukan dengan
menggunakandengan rumus:
L
= ½ × a × t
a = alas segitiga,
t = tinggi
b. Luas Segitiga jika diketahui Dua Sisi dan Sudut Apit Dua Sisi
tersebut (sisi-sudut-sisi)
Apabila pada sebuah segitiga diketahui dua sisi dan satu sudut yang
diapit oleh kedua sisi itu, maka luas segitiga tersebut dapat ditentunakan
dengan menggunakan rumus:
L = ½
ab sin C
L
= ½ ac sin B
L
= ½ bc sin A
c. Luas Segitiga jika diketahui Dua Sudut dan
Satu Sisi
Apabila pada sebuah segitiga diketahui dua
sudut dan satu sisi yang terletak di antara kedua sudut, maka luas segitiga itu
dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:
L
= (a² sin B sin C) / (2 sin A)
L
= (b² sin A sin C) / (2 sin B)
L
= (c² sin A sin B) / (2 sin C)
d. Luas Segitiga jika Diketahui Panjang ketiga sisinya
Apabila ketiga sisi sebuah segitiga diketahui, maka luas segitiga
itu dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:
L = √{s(s
– a)(s – b)(s – c)} atau
dengan s = ½ × keliling ∆ ABC
s = ½ (a + b + c)
e. Luas Segi Banyak (segi – n) beraturan
L
= n × ½
R² sin (360/n)ᵒ
n
= banyaknya sisi pada segi segi banyak beraturan
R
= panjang kaki segitiga sama kaki pembentuk segi-n beraturan
3. Lingkaran Dalam, Lingkaran Luas, dan
Lingkaran Segitiga
a. Lingkaran Dalam Segitiga
Lingkaran dalam segitiga adalah lingkaran
yang menyinggung setiap sisi sgitiga dan berpusat di dalam segitiga.
Jari-jari lingkaran dalam ∆ ABC yang
sisi-sisinya a, b, dan c dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:
Dapat pula digunakan rumus:
rd= (s – a) tan ½ A
rd = (s – b) tan ½ B
rd = (s – c) tan ½ C
b. Lingkaran Luas Segitiga
Lingkaran luas segitiga adalah lingkaran yang
melalui ketiga titik sudut segitiga. Jari-jari lingkaran luas ∆ ABC yang besar sudut-sudut A, B, C dan panjang sisi-sisinya
a, b, dan c dapat ditentukan dengan rumus:
rₗ = a
/ (2 sin A) = b / (2 sin B) = c / (2 sin C)
rₗ = (abc)
/ (4L) = (abc) / {4√(s(s – a)(s – b)(s – c)}
c. Lingkaran Singgung Segitiga
Lingkaran singgung segitiga adalah lingkaran
yang menyinggung satu sisi segitiga dan perpanjangann dua sisi lainnya, serta
berpusat di luar segitiga. Jari-jari lingkaran singgung ABC yang besar
sudut-sudutnya A, B, C, dan panjang sisi-sisinya a, b, c dapat ditentukan
dengan menggunakan rumus:
rₐ =
s tan ½ A
rₐ =
L / (s – a) = (√s(s – a)(s – b)(s – c)) / (s – a)
atau
rb = s
tan ½ B
rb = L
/ (s – b) = (√s(s – a)(s – b)(s – c)) / (s – b)
atau
rc = s
tan ½ C
rc = L
/ (s – c) = (√s(s – a)(s – b)(s – c)) / (s – c)
E. Rumus-Rumus Trigonometri
1. Rumus Trigonometri untuk Jumlah Dua Sudut
dan Selisih Dua Sudut
a. cos
(α + β) = cos α cos β
– sin α sin β
b. cos
(α – β) = cos α cos β
+ sin α sin β
c. sin
(α + β) = sin α cos β
+ cos α sin β
d. sin
(α – β) = sin α sin β
– cos α sin β
e. tan
(α + β) = (tan α + tan β) / (1
– tan α tan β)
f. tan
(α – β) = (tan α –
tan β) / (1 + tan α tan
β)
2. Rumus Trigonometri untuk Sudut Rangkap
a. sin
2α = 2 sin α cos β
b. cos 2α = cos² α – sin² α
=
2 cos² α – 1
=
1 – sin² α
c. tan 2α = (2 tan α) / (1
– tan² α)
d. sin 3α = 3 sin α
– 4 sin³ α
e. cos 3α = 4 cos³ α – 3 cos
α
3. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
a. sin α cos β = ½ {sin (α + β) + sin (α – β)}
b. cos α sin β = ½ {sin (α + β) – sin (α –
β)}
c. cos α cos β = ½ {cos (α + β) – cos (α –
β)}
d. sin α sin β = –½ {cos (α + β) – cos (α –
β)}
4. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus
dan Kosinus
a. sin α + sin β = 2 sin ½ (α + β) cos ½ (α
– β)
b. sin α – sin β) = 2 cos ½ (α +
β) sin ½ (α
– β)
c. cos α + cos β = 2 cos ½ (α + β) cos ½ (α
– β)
d. cos α – cos β = –
2 sin ½ (α + β) sin ½ (α
– β)
F. Fungsi Trigonometri
Rumus-rumus fungsi dasar trigonometri
adalah sebagai berikut.
Fungsi sinus : f(x) = sin x
Fungsi kosinus: f(x) = cos x
Fungsi tangens: f(x) = tan x, dengan x
dalam ukuran radian.
1. Grafik Fungsi Sinus
Ciri-ciri grafik fungsi y = sin x adalah:
a. memiliki nilai maksimum = 1 dan nilai
minimum = – 1
b. memiliki amplitudo = ½ (nilai max – nilai
min) = ½ (1 – (– 1)) = 1
c. memiliki periode sebesar 2 π radian
d. periodisitas fungsi sin (x + k . 2π) =
sin x, k ∈ bilangan bulat.
2. Grafik Fungsi Kosinus
Ciri-ciri grafik fungsi y = cos x adalah:
a. nilai maksimum = 1 dan
nilai minimum = – 1
b. amplitudo = ½ (1 – (– 1)) = 1
c. periode sebesar 2 π radian
d. periodisitas fungsi cos (x + k . 2π) =
cos x, k ∈ bilangan bulat.
3. Grafik Fungsi Tangens
Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah:
a. nilai maksimum = + ~ dan
nilai minimum = – ~
b. periode sebesar π radian
c. periodisitas fungsi tan (x + k . π) =
tan x, k ∈ bilangan bulat.
4. Grafik Fungsi Trigonometri Lanjutan
Apabila y = f(x) adalah fungsi
trigonometri dengan f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, a dan b ∈
bilangan real positif dan tidak sama dengan nol, maka:
a. Grafik fungsi f(x – α) diperoleh dari
grafik f(x) yang ditranslasikan (digeser) sejauh α arah horizotal ke kanan.
Sebagai contoh, grafik fungsi y = sin (x – 30ᵒ) diperoleh dari grafik fungsi y
= sin x yang digeser 30ᵒ ke kanan.
b. Grafik fungsi f(x + α) diperoleh dari
grafik fungsi f(x) yang ditranslasikan (digesar) sejauh α arah horizontal ke
kiri.
c. Grafik fungsi f(x) + b diperoleh dari
grafik fungsi f(x) yang ditranslasikan sejauh b satuan arah vertikal ke atas,
sebagai contoh, grafik fungsi y = cos x + 2 diperoleh dari grafik fungsi y =
cos x yang digeser sejauh 2 satuan ke atas.
d. Grafik fungsi f(x) – b diperoleh dari
grafik fungsi f(x) yang ditranslasikan (digeser) sejauh b satuan arah
vertij=kal ke bawah.
e. Grafik fungsi a f(kx) diperoleh dari
grafik fungsi f(x) dengan cara mengalikan ordinat tiap titik pada grafik fungsi
f(x) dengan a, sedangkan absisnya tetap kemudian periodenya menjadi:
• 360ᵒ / ∣k∣ untuk f(x) = sin x dan
f(x) = cos x
• 180ᵒ / ∣k∣ untuk f(x) = tan x
Sebagai contoh, grafik fungsi y = 3 sin 2x diperoleh dari grafik y
= sin x dengan mengalikan ordinat tiap titik pada grafik fungsi y = sin x
dengan 3, kemudian periodelnya menjadi 360ᵒ / ∣k∣ = 180ᵒ
f. Grafik
fungsi a f(kx – α) = a f{(x – α/k)} dari grafik fungsi af(kx) yang
ditranslasikan sejauh α/k dalam arah horozontal ke kanan.
Sebagai contoh, grafik fungsi y = cos (½
x – 30ᵒ) = 2 cos ½
(x –60ᵒ) diperoleh dari grafik fungsi y =2
cos ½ x yang
ditranslasikan sejauh 60ᵒ ke kanan.
g. Grafik fungsi a f(kx + α) = a f{(x + α/k)} diperoleh dari grafik fungsi a
f(kx) yang ditranslasikan sejauh α/k dalam arah horizontal ke kiri.
G. Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri
Rumus-rumus Dasar Persamaan Trigonometri
1. sin x = sin α
x₁ = α
+ k . 360ᵒ atau x₂ = (180ᵒ – α) + k . 360ᵒ
2. cos x
= cos α
3. tan x
= tan α
x = α + k . 180ᵒ
dengan
k ∈ bilangan bulat
Persamaan trigonometri berbentuk a cos x +
a sin x = c dapat diselesaikan dengan terlebih dahulu mengubah bentuk persamaan
itu menjadi bentuk r cos (x – α) = c, dengan
k = √(a² + b²)
a
cos x + b sin x = k cos (x – α) = c
dengan
k = √(a² + b²)
dan tan α = b/a
Syarat agar persamaan berbentuk a cos x b
sin x = c dapat diselesaikan adalah:
c²
≤ a² + b²
Pertidaksamaan trigonometri
adalah suatu pertidaksamaan yang memuat fungsi-fungsi trigonometri.
Himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan
trigonometri akan mudah ditentukan bila menggunakan sketsa grafik fungsi
trigonometri.
Sumber
Labels:
Matematika
Thanks for reading Trigonometri - 1. Please share...!
