Latihan - Sifat-Sifat Operasi Fungsi Komposisi - 2

Rabu, 05 Agustus 2020

Contoh

 

Diketahui fungsi f: → R – R dengan f(x) = 4x + 3 dan fungsi g: → R dengan g(x) = x – 1.
a)  Tentukanlah rumus fungsi komposisi (g ∘ f)(x) dan (f ∘ g)(x).
b)  Apakah (g ∘ f)(x) = (f ∘ g)(x)? Coba selidiki.

 

Alternatif Penyelesaian

 

a.    Menentukan rumus fungsi komposisi (gof)(x) dan (fog)(x).
i. (g ∘ f)(x) = g(f(x))

= g(4x + 3)
 = (4x + 3) –1
 = 4x + 2

ii. (f ∘ g)(x) = f(g(x))

= f(x – 1)
 = 4(x – 1) + 3
 = 4x – 4 + 3
 = 4x –1

 

b.    Dengan demikian, (g ∘ f)(x) = 4x + 2 dan (f ∘ g)(x) = 4x – 1.
b) Selidiki apakah (g ∘ f)(x) = (f ∘ g)(x).
Berdasarkan hasil perhitungan butir (a) di atas diperoleh
(g ∘ f)(x) = 4x + 2, dan (f ∘ g)(x) = 4x –1
Untuk x = 2 diperoleh bahwa
(g ∘ f)(2) = 4(2) + 2 = 10 dan (f ∘ g)(2) = 4(2) – 1 = 7

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa: g ∘ f tidak sama dengan f ∘ g
atau g ∘ f ≠ f ∘ g.

 

 

Contoh

 

Diketahui fungsi f: → dengan f(x) = 2x – 1, fungsi g: → dengan
g(x) = 4x + 5, dan fungsi h: → dengan h(x) = 2x – 3.
a) Tentukanlah rumus fungsi komposisi g ∘ (f ∘ h) dan (g ∘ f) h.
b) Tentukanlah rumus fungsi komposisi f ∘ (g ∘ h) dan (f ∘ g) h.
c) Apakah g (f ∘ h) = (g ∘ f) ∘ h, dan f (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h. Coba selidiki.

 

Alternatif Penyelesaian

 

a)     Rumus fungsi komposisi (g ∘ (f ∘ h))(x) dan ((g ∘ f) ∘ h)(x)
i) Misalkan k(x) = (f ∘ h)(x)

     k(x) = f(h(x)) = 2h(x) – 1
            = 2(2x – 3) – 1
            = 4x – 6 – 1
            = 4x – 7

 

   (g ∘ (foh)(x)) = (g ∘ k)(x)

        = g(k(x))
        = 4(k(x)) + 5
        = 4(4x – 7) + 5
        = 16x – 28 +5
        = 16x – 23

 

   Jadi, fungsi komposisi (g ∘ (f ∘ h)(x)) = 16x – 23.

ii) Misalkan l(x) = (g ∘ f)(x)

           l(x) = g(f(x)) = 4(f(x)) + 5
                 = 4(2x – 1) + 5
                 = 8x – 4 + 5
                 = 8x + 1

           ((g ∘ f) ∘ h)(x) = (l ∘ h)(x)

= l(h(x))

= 8(h(x)) + 1
= 8(2x – 3) + 1
= 16x – 24 + 1
= 16x – 23

 

Jadi, rumus fungsi komposisi ((g ∘ f) ∘ h)(x) = 16x – 23.

 

b)      Rumus fungsi komposisi (f ∘ (g ∘ h))(x) dan ((f ∘ g) ∘ h)(x)
i) Misalkan m(x) = (g ∘ h)(x)

    m(x) = g(h(x)) = 4(h(x)) + 5

    = 4(2x – 3) + 5
    = 8x – 12 + 5
    = 8x – 7

 

    (f ∘ (g ∘ h)(x)) = (f ∘ m(x))

            = f(m(x))
            = 2(m(x)) – 1
            = 2(8x – 7) – 1
            = 16x – 14 – 1
            = 16x – 15

 

Jadi, rumus fungsi komposisi (f ∘ (g ∘ h)(x)) = 16x – 15.

ii) Misalkan n(x) = (fog)(x)

          n(x) = f(g(x))

                 = 2(4x + 5) – 1
                 = 8x + 10 – 1
                 = 8x + 9

           ((f ∘ g) ∘ h)(x) = (n ∘ h(x))

  = n(h(x))
  = 8(h(x)) + 9
  = 8(2x – 3) + 9
  = 16x – 24 + 9
  = 16x – 15

 

       Jadi, rumus fungsi komposisi ((f ∘ g) ∘ h)(x) = 16x – 15

 

c)       Dari butir (a) dan butir (b), diperoleh nilai

i) (g ∘ (f ∘ h)(x)) = 16x – 23 dan ((g ∘ f) ∘ h)(x) = 16x – 23
ii) (f ∘ (g ∘ h)(x)) = 16x – 15 dan ((f ∘ g) ∘ h)(x) = 16x – 15

Berdasarkan nilai-nilai ini disimpulkan bahwa
i) (g ∘ (f ∘ h)(x)) = ((g ∘ f) ∘ h)(x) = 16x – 23
ii) (f ∘ (g ∘ h)(x)) = ((f ∘ g) ∘ h)(x) = 16x – 15

 

 

Contoh

 

Diketahui fungsi f: R → R dengan f(x) = 5x – 7 dan fungsi identitas I: R → R dengan I(x) = x. Tentukanlah

a)     rumus fungsi komposisi f ∘ I dan I ∘ f.

b)    apakah f ∘ I = I ∘ f = f. Selidikilah.

 

Alternatif Penyelesaian

 

a)     Rumus fungsi komposisi f ∘ I dan I ∘ f
-   (f ∘ I)(x) = f(I(x))

  = f(x)
  = 5x – 7

-  (I ∘ f)(x) = I(f(x))

 = I(f(x))
  = 5x – 7

 

b)    Berdasarkan hasil pada butir (a) maka dapat disimpulkan bahwa
f ∘ I = I ∘ f = f

 

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Latihan - Sifat-Sifat Operasi Fungsi Komposisi - 2. Please share...!