Seperti yang telah diuraikan diatas, bahwa bilagan rasional terdiri dari bilangan bulat dan pecahan. Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dimana a tidak habis dibagi dengan b. Jika a membagi habis b maka bilangan tersebut menjadi bilangan bulat. Dengan kata lain, bilangan bulat adalah bilangan rasional selain pecahan. Bilangan bulat dibagi tiga macam yaitu bulat positif, nol dan bulat negative.
Bilangan bulat positif sering disebut juga bilangan asli.
Disamping itu bilanga bulat Dapat juga dikelompokkan menjadi bilangan genap dan ganjil.
Bilangan genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi 2, sedangkan bilangan ganjil adalah bilangan
bulat yang tidak habis
dibagi 2.
Operasi aljabar dasar pada bilangan bulat adalah penjumlahan,
pengurangan, perkalian dan
pembagian. Berikut akan diuraikan sifat-sifat operasi pada bilagan bulat:
01. Operasi
Penjumlahan dan pengurangan
a.
Tertutup, artinya a + b Î bilangan bulat
b.
Komutatif, artinya a + b = b + a
c.
Asosiatif artinya (a + b) + c = a + (b
+ c)
d.
Memiliki unsur Identitas, yakni 0 artinya a + 0
= 0 + a = a
e.
Memiliki Invers yaitu –a, artinya a + (–a)
= –a + a = 0
f.
Operasi Pengurangan a – b = a + (–b)
02. Operasi
Perkalian dan pembagian
a. Tertutup artinya
a × b Î bilangan bulat
b. Komutatif artinya
a × b = b × a
c. Asosiatif
artinya (a × b) × c = a × (b × c)
d. Distributif
artinya a (b + c) = ab + ac
e. Mempunyai unsur
Identitas yakni angka 1 artinya a × 1 = 1 × a = a
f. Pembagian
bilangan bulat a : b = a × (1/b)
g. Mempunyai Invers
yaitu a inversnya 1/a, sehingga a × (1/a) = (1/a)
× a = 1
Berikutnya akan diberikan contoh soal bilangan bulat:
03. Jika a
dan b bilangan bulat, buktikan bahwa (–a) + (–b) = – (a
+ b)
Misalkan
a dan b adalah bilangan cacah, maka (–a) + (–b)
merupakan jumlah dua bilangan
negatif. Misalkan (a) + (–b) = c maka c = (–a)
+ (–b). Sehingga:
c + b
= ((–a) + (–b))
+ b sifat kesamaan
c + b
= (–a) + ((–b)
+ b) sifat asosiatif
penjumlahan
c + b
= (–a) + 0 invers penjumlahan
(c +
b) + a = (–a) + a sifat
kesamaan
(c +
b) + a = 0 invers
penjumlahan
c + (b + a) = 0 sifat asosiatif penjumlahan
c + (a + b) = 0 sifat komutatif penjumlahan
(c +
(a + b)) + (– (a + b)) = – (a + b) sifat kesamaan
c + ((a + b) + (– (a + b)))
= – (a + b) sifat asosiatif
c + 0 = – (a
+ b) invers penjumlahan
Jadi
kesimpulannya (–a) + (–b) = – (a + b).
04. Jika a dan b
bilangan bulat dan a < b, buktikan bahwa (–a) + b =
b – a
Jawab:
Misal a
dan b dua bilangan cacah dengan a < b, berarti ada
bilangan asli c sedemikian
hingga a + c = b dan menurut definisi pengurangan bilangan cacah, a + c = b sama artinya dengan b – a = c
(–a)
+ b = (–a) + (a + c)
= ((–a) + a) + c
asosiatif penjumlahan
= 0 + c invers penjumlahan
= c
= b – a
Jadi
terbukti bahwa (–a) + b = b – a.
05. Jika
r + t = s + t dengan r, s, t adalah bilangan bulat, maka buktikan
bahwa r = s
Jawab:
r + t
= s + t pernyataan
r + t + (–t) = s + t + (–t)
sifat penjumlahan pada kesamaan (di
tambah –t)
r + (t + (–t)) = s +
(t + (–t)) sifat asosiatif penjumlahan
r + 0 = s + 0 invers penjumlahan
r = s kesimpulan
06. Jika a, b dan c
bilangan-bilangan bulat dan a + c = b + c maka a = b
Jawab:
a + c
= b + c
(a +
c) + (–c) = (b + c) + (–c) (sifat kesamaan)
a + (c + (–c)) = b +
(c + (–c) (assosiatif penjumlahan)
a + 0 = b + 0 (invers penjumlahan)
a = b
07. Jika a
dan b bilangan-bilangan bulat, buktikan bahwa a x (–b) =
–(a x b)
Jawab:
a × (b + (–b)) = a ×
0
(a × b) + (a × (–b))
= 0
(a ×
(–b)) + (a × b) = 0
((a ×
(–b)) + (a × b)) + (– (a × b))
= 0 + (– (a
× b))
(a ×
(–b)) + ((a × b) + (–a (a × b))) = –
(a × b)
a × (–b) + 0 = –
(a × b)
a × (–b) = – (a
× b)
Mengingat
sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, maka:
(–a)
× b = b × (–a)
= – (b ×
a)
= – (a ×
b)
Sumber
Thanks for reading Bilangan Bulat. Please share...!
