Dalam teori bilangan disini, semesta pembicaraan adalah himpunan semua bilangan bulat yang dinyatakan dengan huruf-huruf latin kecil seperti a, b, c, dan sebagainya. Salah satu relasi yang menjadi topik utama dalam teori bilangan adalah relasi keterbagian. Perhatikan bentuk-bentuk persamaan berikut:
13 = 2 × 5 +
3
7 = 2 × 5 +
1
18 = 3 × 5 +
3
–17 = –2 x 9
+ 1, dan sebagainya.
Secara umum, jika a adalah suatu bilangan bulat dan b suatu bilangan bulat positif, maka ada tepat satu bilangan bulat q dan r sedemikian sehingga a = qb + r, 0 ≤ r < b.
Bilangan
bulat q disebut hasil bagi dan r disebut sisa pembagian. Jika r = 0 maka dikatakan a
habis dibagi oleh b dan ditulis b│a. Dalam hal ini berlaku definisi b│a
Jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka.
Sifat-sifat
keterbagian yang lain adalah:
1. a│a (sifat refleksif)
2. Jika a│b
dan b│c maka a│c (sifat transitif)
3. Jika a│b
maka a│mb, untuk setiap bilangan bulat m.
4. Jika a│b
dan a│c maka a│(b + c), a│(b – c) atau a│bc
5. Jika a│b
dan a│(b + c) maka a│c
6. Jika ab│c
maka b│c dan a│c
7. a│b dan
a│c maka a│(bx + cy) untuk setiap bilangan bulat x dan y.
Bukti
sifat-sifat diatas adalah sebagai berikut:
Bukti sifat
(1).
Jika a│a
maka terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka.
Ambil k
= 1 sehingga a = (1)a,
Jadi
terbukti bahwa a│a.
Bukti sifat
(2).
Jika a│b
maka terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka.
Jika b│c
maka terdapat bilangan bulat m sehingga c = mb
Sehingga c
= mb = m(ka) = (mk) a.
Jadi a│c.
Bukti sifat
(3).
Jika a│b
maka terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka.
Ambil m
bilangan bulat maka mb = m(ka) sehingga mb = (mk)a
Karena mk
juga bilangan bulat maka disimpulkan a│mb
Bukti sifat
(4).
Jika a│b
maka terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka. ... (1)
Jika a│c
maka terdapat bilangan bulat m sehingga c = ma ... (2)
Persamaan
(1) dan (2) dijumlahkan, diperoleh: b + c = ka + ma
b + c = (k + m)a
Karena (k
+ m) bilangan bulat maka diperoleh a│(b + c).
Persamaan
(1) dan (2) dikurang, diperoleh: b – c = ka – ma
b + c = (k – m)a
Karena (k
– m) bilangan bulat maka diperoleh a│(b – c).
Persamaan
(1) dan (2) dikurang, diperoleh: bc = (ka)(ma)
bc
= (kma)a
Karena (kma)
bilangan bulat maka diperoleh a│bc.
Bukti sifat
(5).
Jika a│b
maka terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka
Jika a│(b + c) maka terdapat bilangan bulat m sehingga
b + c = ma
Sehingga ka
+ c = ma
c = ma – ka
c =
(m – k)a
Ini berarti a│c
Bukti sifat
(6).
Jika ab│c
maka terdapat bilangan bulat k sehingga c = k(ab) = b(ak)
Sehingga b│c
Jika ab│c maka
terdapat bilangan bulat k sehingga c = k(ab) = a(bk)
Sehingga a│c
Bukti sifat
(7).
Jika a│b maka berdasarkan sifat (3)
berlaku a│xb
untuk x bilangan bulat … (1)
Jika a│c maka berdasarkan sifat (3)
berlaku a│yb
untuk y bilangan bulat … (2)
Berdasarkan
sifat (4) berlaku a│(bx + by).
Untuk
pemakaian sifat selengkapnya ikutilah contoh soal berikut ini:
01. Buktikanlah
bahwa 5.276 habis dibagi 2
Jawab:
5.276 = 5.270 + 6
5.276 = 10(527) + 6
Karena 2│10 maka menurut sifat (2) berakibat 2│10(527)
Karena 2│6 maka menurut sifat (4) berakibat 2│[10(527) + 6],
Artinya 2│5720
02. Buktikanlah
bahwa 12.324 habis dibagi 4
Jawab:
12.324 = 12.300 + 24
12.324 = 100(123) + 24
Karena 4│100 maka menurut sifat (2) berakibat 4│100(123)
Karena 4│24 maka menurut sifat (4) berakibat 4│[100(123) + 24],
Artinya 4│12.324
Sumber
Thanks for reading Keterbagian pada Bilangan Bulat. Please share...!
