Binomial Newton

Sabtu, 24 Desember 2022

Salah satu aplikasi dari aturan kombinasi adalah menentukan koefisien dari uraian bentuk (a + b)ⁿ. Namun bentuk ini dapat pula diuraikan dengan bantuan segitiga Pascal, yaitu :

(a + b)⁰ …………….…………                                         1
(a + b)¹ …………….…………                                    1           1
(a + b)² …………….…………                              1         2            1
(a + b)³ …………….…………                       1       3              3           1
(a + b)⁴ …………….…………                  1       4            6           4          1
(a + b)⁵ …………….…………            1        5       10             10        5          1

 

Sehingga bentuk (a + b)³ dan (a + b)⁴ misalnya, dapat diuraikan menjadi :
(a + b)³   = 1.a³.b⁰ + 3.a^3–1.b⁰⁺¹ + 3.a^3–2.b⁰⁺² + 1.a^3–3.b⁰⁺³

                = a³ + 3.a².b + 3.a.b² + b³

(a + b)⁴   = 1.a⁴.b⁰ + 4.a^4–1.b⁰⁺¹ + 6.a^4–2.b⁰⁺² + 4.a^4–3.b⁰⁺³ + 1.a^4–4.b⁰⁺⁴

                = a⁴ + 4.a³.b + 6. a².b² + 4.a.b³ + b⁴

 

Dengan menggunakan aturan kombinasi, uraian bentuk (a + b)ⁿ dapat ditentukan dengan rumus Binomial Newton, yaitu :

 

Sehinga bentuk (a + b)³ dan (a + b)⁴ misalnya, dapat diuraikan sebagai berikut :

(a + b)³  = ₃C₀.a³.b⁰ + ₃C₁.a^3–1.b⁰⁺¹ + ₃C₂.a^3–2.b⁰⁺² + ₃C₃.a^3–3.b⁰⁺³

               = (1).a³.b⁰ + (3).a^3–1.b⁰⁺¹ + (3).a^3–2.b⁰⁺² + (1).a^3–3.b⁰⁺³

               = a³ + 3.a².b + 3.a.b² + b³
(a + b)⁴  = ₄C₀.a⁴.b⁰ + ₄C₁.a^4–1.b⁰⁺¹ + ₄C₂.a^4–2.b⁰⁺² + ₄C₃.a^4–3.b⁰⁺³ +

                      ₄C₄.a^4–4.b⁰⁺⁴

               = (1).a⁴.b⁰ + (4).a^4–1.b⁰⁺¹ + (6).a^4–2.b⁰⁺² + (4).a^4–3.b⁰⁺³ + 

                  (1).a^4–4.b⁰⁺⁴

               = a⁴ + 4.a³.b + 6. a².b² + 4.a.b³ + b4

 

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini :

 

1.     Uraikanlah bentuk (a + 2)⁴

Alternatif Pembahasan :

 

(a + 2)⁴  = ₄C₀.a⁴.2⁰ + ₄C₁.a^4–1.2⁰⁺¹ + ₄C₂.a^4–2.2⁰⁺² + ₄C₃.a^4–3.2⁰⁺³ +

                     ₄C₄.a^4–4.2⁰⁺⁴

              = (1).a⁴.2⁰ + (4).a³.2¹ + (6).a².2² + (4).a¹.2³ + (1).a⁰.2⁴

              = (1).a⁴.(1) + (4).a³.(2) + (6).a².(4) + (4).a¹.(8) + (1).a⁰.(16)

              = a⁴ + 8.a³ + 24.a² + 32.a + 16

 

Sedangkan suku ke-p dari penguraian bentuk (a + b)ⁿ dapat ditentukan dengan rumus :

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini :

 

1.    Tentukanlah suku ke 4 dari uraian bentuk (a + b)⁸

Alternatif Pembahasan :

(a + b)⁸ Maka          n = 8

Suku ke 4 maka p = 4

  

 

2.    Tentukanlah koefisien suku yang memuat x³ dari uraian bentuk (x + 2)⁵

Alternatif Pembahasan :

(x + 2)⁵   Maka          n = 5

 

  

Jadi koefisien suku yang memuat x³ adalah 40.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Binomial Newton. Please share...!