Merumuskan dan Menghitung Volume Benda Putar

Minggu, 18 Desember 2022

Aplikasi lain dari teori integral adalah untuk menghitung volume benda putar. Benda putar adalah suatu benda ruang yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap garis tertentu (sumbu rotasi). Dalam hal ini sumbu rotasi adalah sumbu-X dan sumbu-Y.

Misalkan suatu daerah D dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-X, garis x = a dan garis x = b, seperti pada gambar di samping. Jika daerah D diputar 360° mengelilingi sumbu-X, maka diperoleh suatu benda putar.

Volum benda putar ini dapat dirumuskan dengan menggunakan proses limit jumlah. Ambil elemen daerah persegi panjang dengan lebar Dx dan tinggi y = f(x). Jika daerah itu diputar 360° mengelilingi sumbu-X, maka diperoleh elemen silinder tegal dengan jari-jari y = f(x) dan tinggi Dx.

Volum dari elemen silinder itu adalah :

Dengan menggunakan proses limit suatu jumlah, volum benda putar adalah :

          

 

Bentuk limit jumlah di atas dapat dituliskan dengan menggunakan notasi integral tentu sebagai berikut :

          

 

Dengan cara yang sama, dapat diperoleh rumus volum benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = f(y) jika diputar mengelilingsi sumbu Y dalam interval y = a dan y = b, yaitu :

          

 

Selanjutnya akan di uraikan beberapa rumus menentukan volum benda putar, yang dibatasi oleh satu kurva atau dua kurva dalam interval tertentu, jika diputar 360° mengelilingi sumbu-X dan sumbu-Y, yakni sebagai berikut :

Rumus 1

Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) jika diputar mengelilingsi sumbu-X dalam interval x = a dan x = b akan membentuk benda putar
.
Volume benda putar dirumuskan :

          

 

Rumus 2

Daerah yang dibatasi oleh kurva x = f(y) jika diputar mengelilingsi sumbu Y dalam interval y = a dan y = b akan membentuk benda putar .

Volume benda putar dirumuskan :

          

 

Rumus 3

Daerah yang dibatasi oleh kurva y₁ = f(x) dan y₂ = g(x) jika diputar mengelilingsi sumbu X dalam interval x = a dan x = b akan memben-tuk benda putar.

Volume benda putar dirumuskan :

          

 

Rumus 4

Daerah yang dibatasi oleh kurva x₁ = f(y) dan x₂ = g(y) jika diputar mengelilingsi sumbu Y dalam interval y = a dan y = b akan memben-tuk benda putar.

Volume benda putar dirumuskan :

          

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Merumuskan dan Menghitung Volume Benda Putar. Please share...!