Persamaan Eksponen

Minggu, 24 September 2023

B.2. Persamaan Eksponen

 

Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel. Simaklah contoh-contoh berikut ini.

·     4^{2x + 1} = 32^{x – 3} merupakan persamaan eksponen yang eksponennya memuat variabel x.

·      (y + 5)^{5y – 1} = (y + 5)^{5 – y} merupakan persamaan eksponen yang eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel y.

·     16^t + 2 · 4^t + 1 = 0 merupakan persamaan eksponen yang eksponennya memuat variabel t.

Ada beberapa bentuk persamaan eksponen ini, di antaranya:

a.     a^f(x) = a^m

 

Contoh

Tentukanlah penyelesaian 3 = 27^{1 – x}.

Alternatif Pembahasan :

Jadi, penyelesaian 3 = 27^{1 – x} adalah .

 

b.    a^f(x) = a^g(x)

 

Contoh

Tentukanlah penyelesaian 25^{x + 3} = 5^{x – 1}.

Alternatif Pembahasan :

25^{(x + 3)} = 5^{(x – 1)}
 5^{2(x + 3)} = 5^{(x – 1)}
  2^{(x + 3)} = x – 1
   2x + 6 = x – 1
           x = –7

Jadi, penyelesaian 25x + 3 = 5x – 1 adalah x = 7.

 

c.      a^f(x) = b^f(x), a ¹ b

 

Contoh

Tentukanlah penyelesaian 45^{x – 6} = 50^{x – 6}.

Alternatif Pembahasan :

45^{x – 6} = 50^{x – 6}
Supaya ruas kiri dan kanan sama, x – 6 = 0, sehingga 45⁰ = 50⁰
x – 6 = 0
      x = 6

Jadi, penyelesaian 45^{x – 6} = 50^{x – 6} adalah x = 6.

 

d.    f(x)^g(x) = f(x)^h(x)

Contoh

Tentukanlah himpunan penyelesaian .

Alternatif Pembahasan :

Sekarang periksa apakah untuk  dan h(x) keduanya positif?

Jadi, untuk , g(x) dan h(x) keduanya positif, sehingga merupakan penyelesaian.

·     3x – 10 = –1
       3x = 9
         x = 3
Sekarang periksa apakah untuk x = 3, g(x), dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil?
g(3) – 3² = 9 dan h(3) = 2 . 3 = 6
Perhatikan bahwa untuk x = 3, g(x) ganjil dan h(x) genap sehingga x = 3 bukan penyelesaian.
Dengan demikian, himpunan penyelesaian:

 

e.      A(a^f(x))² + B · a^f(x) + C = 0, a > 0, a ¹ 1, A, B, C ∊ R, A ¹ 0

Terlebih dahulu, misalkan y = a^f(x). Dari pemisalan ini, diperoleh Ay² + By + C = 0. Nilai y yang kalian peroleh, substitusi kembali pada pemisalan y = a^f(x) sehingga kalian memperoleh nilai x.

 

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian 16^t + 2 · 4^t + 1 = 0.

Alternatif Pembahasan :

16^t + 2 · 4^t + 1 = 0

4^2t + 2 · 4^t + 1 = 0
Misalkan y 4t, sehingga diperoleh:
y² + 2y + 1 = 0
(y + 1)² = 0
y = –1
Substitusi nilai y yang kalian peroleh ke pemisalan y = 4^t ⇔  4^t = –1.
Oleh karena untuk setiap t ∊R, 4^t > 0, maka tidak ada nilai t yang memenuhi 4^t = –1.

Jadi, himpunan penyelesaian 16^t + 2 · 4^t + 1 = 0 adalah Æ.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Persamaan Eksponen. Please share...!