Dengan menggunakan jangka, Anakota membuat sebuah busur lingkaran. Ia menusukkan jarum jangka pada titik O, kemudian memutar jangka dengan sudut putar α berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. Melalui peragaan ini, Anakota telah melakukan rotasi sebesar a dengan pusat titik O.
Misalkan,
posisi awal pensil jangka pada titik A(a, b). Setelah dirotasi sebesar
α dengan pusat titik O, posisi
pensil jangka ini berada pada titik A(a′, b′) seperti pada
gambar berikut.
Posisi awal
pensil jangka ini dapat pula ditulis dalam koordinat kutub, A(r cos
θ, r sin θ). Adapun posisi pensil jangka setelah diputar sebesar α dengan arah berlawanan dengan arah
perputaran jarum dapat ditulis sebagai A′(r cos (θ + α)).
Jadi,
dinyatakan dalam bentuk matriks, persamaan tersebut menjadi matriks berikut.
Jadi, posisi
pensil jangka setelah diputar sebesar α
tersebut adalah:
Uraian ini
menggambarkan rumus rotasi sebesar α dengan
pusat titik O(0, 0) sebagai berikut.
Adapun untuk
rotasi sebesar α dengan pusat titik P(m,
n) dapat ditentukan sebagai berikut.
Nilai α bertanda positif jika arah putaran
sudut berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dan bertanda negatif jika
arah putaran sudut searah dengan arah perputaran jarum jam.
Bagaimana jika titik A(a, b) dirotasi sebesar α dengan pusat titik O(0, 0). Kemudian,
rotasi lagi sebesar β dengan pusat
yang sama?
Perhatikan gambar berikut!
Tampak bahwa
posisi rotasi sebesar α dengan pusat
titik O(0, 0). Kemudian dilanjutkan rotasi sebesar β dengan pusat yang sama diwakili oleh rotasi sebesar (α +
β) dengan pusat titik O(0, 0).
Akibatnya, bayangan titik A dapat kalian tentukan sebagai berikut.
Contoh
1. Tentukan bayangan titik A(–1, –2) yang dirotasi berturut-turut sebesar
180° dan 90° berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat yang
sama, yaitu titik O(0, 0).
Alternatif Pembahasan :
Merotasi titik A(–1,
–2) berturut-turut sebesar 180° dan 90° berlawanan dengan arah perputaran jarum
jam dengan pusat yang sama, yaitu titik O(0, 0) sama artinya dengan
merotasi titik A sebesar 270q dengan pusat O(0, 0).
Bayangan titik A adalah
sebagai berikut.
Jadi, bayangan titik A(–1, –2)
adalah A″(–2, 1).
2. Tentukan bayangan parabola y = x2 + 1 yang dirotasi
sebesar 90° searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat titik P(1,
–2).
Alternatif Pembahasan :
Ambil sembarang titik A(a,
b) pada y = x2 + 1 sehingga b = a2 + 1
(*).
Rotasikan titik A sebesar 90° searah dengan arah perputaran jarum jam
dengan pusat titik P(1, –2). Dengan rotasi ini, kalian memperoleh titik A(a′, b[C1] ′).
Jadi, titik A′(b
+ 3, –a – 1).
Perhatikan bahwa: a′ = b + 3, dari persamaan ini didapat b = a′
– 3 dan dari b′ = –a – 1 didapat a = –b′ – 1.
Dengan mensubstitusi
nilai a dan b ini ke persamaan (*), kalian memperoleh:
a′ – 3 = (–b′ – 1)2 + 1
a′ – 3 = ( b′)2 + 2b′ + 2
a′ = (b′)2 + 2b′ + 5
Jadi, bayangan parabola y = x2
+ 1 yang dirotasi sebesar 90° searah dengan arah perputaran jarum jam dengan
pusat titik P(1, –2) adalah x = y2 + 2y + 5.
Sumber
Thanks for reading Rotasi. Please share...!