Rotasi

Minggu, 17 September 2023

 

Dengan menggunakan jangka, Anakota membuat sebuah busur lingkaran. Ia menusukkan jarum jangka pada titik O, kemudian memutar jangka dengan sudut putar α berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. Melalui peragaan ini, Anakota telah melakukan rotasi sebesar a dengan pusat titik O.

Misalkan, posisi awal pensil jangka pada titik A(a, b). Setelah dirotasi sebesar α dengan pusat titik O, posisi pensil jangka ini berada pada titik A(a′, b′) seperti pada gambar berikut.

Posisi awal pensil jangka ini dapat pula ditulis dalam koordinat kutub, A(r cos θ, r sin θ). Adapun posisi pensil jangka setelah diputar sebesar α dengan arah berlawanan dengan arah perputaran jarum dapat ditulis sebagai A′(r cos (θ + α)).

Jadi, dinyatakan dalam bentuk matriks, persamaan tersebut menjadi matriks berikut.

Jadi, posisi pensil jangka setelah diputar sebesar α tersebut adalah:

Uraian ini menggambarkan rumus rotasi sebesar α dengan pusat titik O(0, 0) sebagai berikut.

Adapun untuk rotasi sebesar α dengan pusat titik P(m, n) dapat ditentukan sebagai berikut.

Nilai α bertanda positif jika arah putaran sudut berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dan bertanda negatif jika arah putaran sudut searah dengan arah perputaran jarum jam.
Bagaimana jika titik A(a, b) dirotasi sebesar α dengan pusat titik O(0, 0). Kemudian, rotasi lagi sebesar β dengan pusat yang sama?
Perhatikan gambar berikut!

Tampak bahwa posisi rotasi sebesar α dengan pusat titik O(0, 0). Kemudian dilanjutkan rotasi sebesar β dengan pusat yang sama diwakili oleh rotasi sebesar  (α + β) dengan pusat titik O(0, 0).
Akibatnya, bayangan titik A dapat kalian tentukan sebagai berikut.

Contoh

1.    Tentukan bayangan titik A(–1, –2) yang dirotasi berturut-turut sebesar 180° dan 90° berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat yang sama, yaitu titik O(0, 0).

Alternatif Pembahasan :

 

Merotasi titik A(–1, –2) berturut-turut sebesar 180° dan 90° berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat yang sama, yaitu titik O(0, 0) sama artinya dengan merotasi titik A sebesar 270q dengan pusat O(0, 0).

Bayangan titik A adalah sebagai berikut.

 

 

Jadi, bayangan titik A(–1, –2) adalah A″(–2, 1).

 

2.    Tentukan bayangan parabola y = x² + 1 yang dirotasi sebesar 90° searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat titik P(1, –2).

Alternatif Pembahasan :

 

Ambil sembarang titik A(a, b) pada y = x² + 1 sehingga b = a² + 1 (*).
Rotasikan titik A sebesar 90° searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat titik P(1, –2). Dengan rotasi ini, kalian memperoleh titik A(a′, b[C1] ′).

 

Jadi, titik A′(b + 3, –a – 1).
Perhatikan bahwa: a′ = b + 3, dari persamaan ini didapat b = a′ – 3 dan dari b′ = –a – 1 didapat a = –b′ – 1.

 

Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), kalian memperoleh:
a′ – 3 = (–b′ – 1)² + 1
a′ – 3 = ( b′)² + 2b′ + 2

 a′ = (b′)² + 2b′ + 5

Jadi, bayangan parabola y = x² + 1 yang dirotasi sebesar 90° searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat titik P(1, –2) adalah x = y² + 2y + 5.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Rotasi. Please share...!