A. Tujuan Pembelajaran
Setelah
kegiatan pembelajaran 3 ini diharapkan siswa mampu:
1.
Menentukan invers matriks ordo 2x2 dan ordo 3x3
2.
Membuat kesimpulan mengenai cara menyelesaikan
operasi matriks dengan
menggunakan sifat-siftanya, serta pemanfaatan nilai determinan atau invers
matriks dalam pemecahan masalah nyata.
B. Uraian Materi
Invers
Matriks
Perhatikan masalah
bentuk matriks berordo 2x2 di atas. Selain dengan menggunakan metode
determinan, kita bisa menentukan nilai x dan y permasalahan di atas dengan
metode Invers Matriks.
Apakah
Invers Matriks itu?
Invers matriks A adalah sebuah matriks baru yang merupakan kebalikan dari
matriks A dan apabila dikalikan antara matriks A dengan kebalikannya akan
menghasilkan matriks Identitas. Invers matriks A dinotasikan dengan 𝑨-
Karena matriks A adalah matriks Nonsingular (matriks yang determinannya
sama dengan Nol, dan mempunyai kebalikan/Invers), oleh karena itu, akan kita
coba menentukan nilai x dan y dengan menggunakan metode Invers, sebagai
berikut:
· Invers
dari matriks A yang mempunyai ordo 2x2 
adalah:
· Invers
dari matriks A yang mempunyai ordo 3x3 
adalah:
Karena
matriks A adalah matriks Nonsingular (matriks yang determinannya sama dengan Nol,
dan mempunyai kebalikan/Invers), oleh karena itu, akan kita coba menentukan
nilai x dan y dengan menggunakan metode Invers, sebagai berikut:
Dengan
demikian jawaban untuk permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan dua metode
(cara) yaitu dengan metode (cara) determinan dan dengan metode (cara) invers
yang menghasilkan nilai atau jawaban yang sama.
Untuk melengkapi
contoh selanjutnya, akan kita bahas permasalahan pada matriks yang berordo 3x3.
Perhatikan permasalahan yang sudah dibahas sebelumnya dengan menggunakan metode
determinan, sekarang permasalahan tersebut akan kita selesaikan dengan metode
invers.
Terlebih
dahulu kita cari minor matriks A, disini didapat bahwa minor matriks A adalah :
𝑀11 = artinya determinan matriks ordo
2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 1
kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3.
𝑀12 = artinya determinan matriks ordo
2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 1
kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3.
𝑀13 = artinya determinan matriks ordo
2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen pada baris ke 1 kolom ke 3
pada matrik ordo 3x3.
𝑀21 = artinya determinan matriks ordo
2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2
kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3.
𝑀22 = artinya determinan matriks ordo
2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2 kolom
ke 2 pada matrik ordo 3x3.
𝑀23 = artinya determinan matriks ordo
2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2
kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3.
𝑀31 = artinya determinan matriks ordo
2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3
kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3.
𝑀32 = artinya determinan matriks ordo
2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3
kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3
𝑀33 = artinya determinan matriks ordo
2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3
kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3.
Jadi Minor
Matriks 
Sehingga kofaktor matriks A adalah:
Kofaktor Matriks A baris pertama kolom pertama, berarti i = 1 dan j = 1.
𝐾𝑖𝑗 = (-1) 𝑀𝑖+𝑗. 𝑀𝑖𝑗
𝐾11 = (-1) 𝑀1+1. 𝑀11
𝐾11 = (-1)2. 100
𝐾11 = (1) 100 = 100
Kofaktor
matriks A baris pertama kolom kedua, berarti i = 1 dan j = 2.
𝐾12 = (-1) 𝑀1+2. 𝑀12
𝐾12 = (-1)3. 𝑀12
𝐾12 = (-1). 100 = -100
Kofaktor
matriks A baris pertama kolom ketiga, berarti i = 1 dan j = 3.
𝐾13 = (-1) 𝑀1+3. 𝑀13
𝐾13 = (-1)4. 𝑀13
𝐾13 = (1). 60 = 60
Kofaktor
matriks A baris kedua kolom pertama, berarti i = 2 dan j = 1
𝐾21 = (-1)2+1. 𝑀21
𝐾21 = (-1)3. 250 = (- 1).250
= - 250
Kofaktor
matriks A baris kedua kolom kedua, berarti i = 2 dan j = 2
𝐾22 = (-1)2+2. 𝑀22
𝐾22 = (-1)4. 220 = (1).220= 220
Kofaktor
matriks A baris kedua kolom ketiga, berarti i = 2 dan j = 3
𝐾23 = (-1)2+3. 𝑀23
𝐾23 = (-1)5.100 = (-1). 100 =
- 100
Kofaktor
matriks A baris ketiga kolom pertama, berarti i = 3 dan j = 1
𝐾31 = (-1)3+1. 𝑀31
𝐾31 = (-1)4.75 = 1. 75 = 75
Kofaktor
matriks A baris ketiga kolom kedua, berarti i = 3 dan j = 2
𝐾32 = (-1)3+2. 𝑀32
𝐾32 = (-1)5.(50) = -1(50) = -
50
Kofaktor matriks A
baris ketiga kolom ketiga, berarti i = 3 dan j = 3
𝐾33 = (-1)3+3. 𝑀33
𝐾33 = (-1)6.(0) = 1(0) = 50
Jadi
Kofaktor Matriks 
.
Adjoin
matriks A dicari dengan mencari transpose dari kofaktor matriks A, sehingga :
Dari matriks
di atas, diperoleh invers dari matriks A adalah:
Sehingga :
Bentuk
matriks permaslahan di atas adalah:
Bentuk
tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan AX = B, untuk memperoleh matriks
X, yang elemen-elemennya merupakan banyaknya pesawat Airbus100 (x), banyaknya
pesawat Airbus 200 (y), dan banyaknya pesawat Airbus 300 (z), kita kalikan dengan
matriks 𝑨-𝟏 ke ruas kiri dan ruas kanan persamaan AX = B, sehingga
diperoleh:
Hasil yang
diperoleh dengan menerapkan metode (cara) Invers dan metode (cara) determinan, diperoleh hasil yang sama, yaitu banyaknya pesawat Airbus 100 yang disediakan
sebanyak 3 unit, banyaknya pesawat Airbus 200 yang disediakan sebanyak 1 unit,
dan banyaknya pesawat Airbus 300 yang disediakan sebanyak 2 unit.
Sifat-sifat Invers matriks
1.
Misalkan matriks A berordo n x n
dengan n ∈ N, dan determinan A tidak sama dengan nol,
jika 𝑨-𝟏 adalah invers dari A, maka (𝑨-𝟏)-𝟏 = A,
2.
Misalkan matriks A dan B berordo n x n
dengan n ∈ N, dan determinan A dan B tidak sama dengan
nol, jika 𝑨-𝟏 dan 𝑩-𝟏adalah invers dari matriks A dan B, maka (𝑨𝑩)-𝟏 = 𝑩-𝟏𝑨-𝟏.
C.
Rangkuman
1.
Invers
dari matriks A yang mempunyai ordo 2x2 adalah:
2.
Invers
dari matriks A yang mempunyai ordo 3x3 adalah:
3.
Mencari
matriks X dalam bentuk persamaan Matriks:
· A.X
= B ↔ X = 𝑨-𝟏 B
· X.A
= B ↔ X = B 𝑨-𝟏
Sumber
Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 3: Invers Matriks. Please share...!
