Kegiatan Pembelajaran 3: Invers Matriks

Senin, 04 Maret 2024

A.   Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 3 ini diharapkan siswa mampu:

1.     Menentukan invers matriks ordo 2x2 dan ordo 3x3

2.     Membuat kesimpulan mengenai cara menyelesaikan operasi matriks dengan
menggunakan sifat-siftanya, serta pemanfaatan nilai determinan atau invers matriks dalam pemecahan masalah nyata.

 

B.   Uraian Materi

Invers Matriks
Perhatikan masalah bentuk matriks berordo 2x2 di atas. Selain dengan menggunakan metode determinan, kita bisa menentukan nilai x dan y permasalahan di atas dengan metode Invers Matriks.

Apakah Invers Matriks itu?
Invers matriks A adalah sebuah matriks baru yang merupakan kebalikan dari matriks A dan apabila dikalikan antara matriks A dengan kebalikannya akan menghasilkan matriks Identitas. Invers matriks A dinotasikan dengan 𝑨-

Karena matriks A adalah matriks Nonsingular (matriks yang determinannya sama dengan Nol, dan mempunyai kebalikan/Invers), oleh karena itu, akan kita coba menentukan nilai x dan y dengan menggunakan metode Invers, sebagai berikut:

·         Invers dari matriks A yang mempunyai ordo 2x2  adalah:

·         Invers dari matriks A yang mempunyai ordo 3x3  adalah:

Karena matriks A adalah matriks Nonsingular (matriks yang determinannya sama dengan Nol, dan mempunyai kebalikan/Invers), oleh karena itu, akan kita coba menentukan nilai x dan y dengan menggunakan metode Invers, sebagai berikut:

 

Dengan demikian jawaban untuk permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan dua metode (cara) yaitu dengan metode (cara) determinan dan dengan metode (cara) invers yang menghasilkan nilai atau jawaban yang sama.

Untuk melengkapi contoh selanjutnya, akan kita bahas permasalahan pada matriks yang berordo 3x3. Perhatikan permasalahan yang sudah dibahas sebelumnya dengan menggunakan metode determinan, sekarang permasalahan tersebut akan kita selesaikan dengan metode invers.
 

Terlebih dahulu kita cari minor matriks A, disini didapat bahwa minor matriks A adalah :
𝑀₁₁ = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 1 kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3.

𝑀₁₂ = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 1 kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3.

𝑀₁₃ = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen pada baris ke 1 kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3.

𝑀₂₁ = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2 kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3.

𝑀₂₂ = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2 kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3.

𝑀₂₃ = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2 kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3.

𝑀₃₁ = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3 kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3.

𝑀₃₂ = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3 kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3

𝑀₃₃ = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3 kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3.

 

Jadi Minor Matriks 
Sehingga kofaktor matriks A adalah:

Kofaktor Matriks A baris pertama kolom pertama, berarti i = 1 dan j = 1.

𝐾_𝑖𝑗 = (-1) 𝑀^𝑖+𝑗. 𝑀_𝑖𝑗

𝐾₁₁ = (-1) 𝑀¹⁺¹. 𝑀₁₁
𝐾₁₁ = (-1)². 100
𝐾₁₁ = (1) 100 = 100

Kofaktor matriks A baris pertama kolom kedua, berarti i = 1 dan j = 2.
𝐾₁₂ = (-1) 𝑀¹⁺². 𝑀₁₂
𝐾₁₂ = (-1)³. 𝑀₁₂
𝐾₁₂ = (-1). 100 = -100

Kofaktor matriks A baris pertama kolom ketiga, berarti i = 1 dan j = 3.
𝐾₁₃ = (-1) 𝑀¹⁺³. 𝑀₁₃
𝐾₁₃ = (-1)⁴. 𝑀₁₃
𝐾₁₃ = (1). 60 = 60

Kofaktor matriks A baris kedua kolom pertama, berarti i = 2 dan j = 1
𝐾₂₁ = (-1)²⁺¹. 𝑀₂₁
𝐾₂₁ = (-1)³. 250 = (- 1).250 = - 250

Kofaktor matriks A baris kedua kolom kedua, berarti i = 2 dan j = 2
𝐾₂₂ = (-1)²⁺². 𝑀₂₂
𝐾₂₂ = (-1)4. 220 = (1).220= 220

Kofaktor matriks A baris kedua kolom ketiga, berarti i = 2 dan j = 3
𝐾₂₃ = (-1)²⁺³. 𝑀₂₃
𝐾₂₃ = (-1)⁵.100 = (-1). 100 = - 100

Kofaktor matriks A baris ketiga kolom pertama, berarti i = 3 dan j = 1
𝐾₃₁ = (-1)³⁺¹. 𝑀₃₁
𝐾₃₁ = (-1)⁴.75 = 1. 75 = 75

Kofaktor matriks A baris ketiga kolom kedua, berarti i = 3 dan j = 2
𝐾₃₂ = (-1)³⁺². 𝑀₃₂
𝐾₃₂ = (-1)⁵.(50) = -1(50) = - 50

Kofaktor matriks A baris ketiga kolom ketiga, berarti i = 3 dan j = 3
𝐾₃₃ = (-1)³⁺³. 𝑀₃₃
𝐾₃₃ = (-1)⁶.(0) = 1(0) = 50

Jadi Kofaktor Matriks .

Adjoin matriks A dicari dengan mencari transpose dari kofaktor matriks A, sehingga :

Dari matriks di atas, diperoleh invers dari matriks A adalah:

Sehingga :

Bentuk matriks permaslahan di atas adalah:

Bentuk tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan AX = B, untuk memperoleh matriks X, yang elemen-elemennya merupakan banyaknya pesawat Airbus100 (x), banyaknya pesawat Airbus 200 (y), dan banyaknya pesawat Airbus 300 (z), kita kalikan dengan matriks 𝑨^-𝟏 ke ruas kiri dan ruas kanan persamaan AX = B, sehingga diperoleh:

Hasil yang diperoleh dengan menerapkan metode (cara) Invers dan metode (cara) determinan, diperoleh hasil yang sama, yaitu banyaknya pesawat Airbus 100 yang disediakan sebanyak 3 unit, banyaknya pesawat Airbus 200 yang disediakan sebanyak 1 unit, dan banyaknya pesawat Airbus 300 yang disediakan sebanyak 2 unit.

Sifat-sifat Invers matriks

1.       Misalkan matriks A berordo n x n dengan n ∈ N, dan determinan A tidak sama dengan nol, jika 𝑨^-𝟏 adalah invers dari A, maka (𝑨^-𝟏)^-𝟏 = A,

2.       Misalkan matriks A dan B berordo n x n dengan n ∈ N, dan determinan A dan B tidak sama dengan nol, jika 𝑨-𝟏 dan 𝑩-𝟏adalah invers dari matriks A dan B, maka (𝑨𝑩)^-𝟏 = 𝑩^-𝟏𝑨^-𝟏.

 

C. Rangkuman

1.     Invers dari matriks A yang mempunyai ordo 2x2  adalah:

2.     Invers dari matriks A yang mempunyai ordo 3x3  adalah:

 

3.     Mencari matriks X dalam bentuk persamaan Matriks:

·        A.X = B ↔ X = 𝑨^-𝟏 B

·        X.A = B ↔ X = B 𝑨^-𝟏

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 3: Invers Matriks. Please share...!