Maksimum dan Minimum pada Masalah Kontekstual

Kamis, 30 Mei 2024

 

4.     Maksimum dan Minimum pada Masalah Kontekstual

Dalam hidup ini, kita sering menghadapai masalah guna mendapatkan jalan terbaik untuk melalkukan sesuatu. Sebagai contoh, seorang petani ingin memilih kombinasi hasil panen yang dapat menghasilkan keuntungan terbesar. Seorang dokter akan menentukan dosis obat yang terkecil untuk menyembuhkan suatu penyakit. Seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin biaya pendistribusian produknya. Kadangkala salah satu dari masalah di atas dapat dirumuskan sehingga akan melibatkan memaksimumkan dan meminimumkan fungsi tertentu.

⦁     Dalam menyelesaikan maksimum dan minimum pada masalah kontekstual, harus memperhatikan tahapan berikut.

⦁      Tetapkan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel untuk memperoleh hubungan atau ekspresi matematikanya

⦁      Tetapkan rumus fungsi satu variabel yang merupakan model matematika dari masalah

⦁      Tentukan penyelesaian optimum dari model matematika

⦁      Berikanlah tafsiran terhadap hasil yang diperoleh.

Berikut diberikan beberapa contoh maksimum dan minimum pada masalah kontekstual.

Contoh:

Akan dibuat sebuah persegi panjang dengan keliling 48 cm. Berapakah ukuran persegi panjang tersebut agar luasnya maksimum?

Alternatif Penyelesaian:

Luas persegi panjang :

Syarat ekstrim untuk L adalah , sehingga :

24 – 2p = 0
        2p = 24
          p = 12

Substitusikan p = 12 ke (*), sehingga diperoleh : l = 24 – 12 = 12.

Jadi, ukuran persegi panjang tersebut agar luasnya maksimum adalah p = 12 cm, l = 12 cm, dan luas persegi panjang = 12 . 12 = 144 cm².

Contoh:

Jumlah dua buah bilangan adalah 10. Tentukan kedua bilangan tersebut sehingga jumlah kuadratnya paling minimum …

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y.
Jumlah kedua bilangan 10, sehingga x + y = 10 → y = 10 – x … (*)
Misalkan jumlah kuadrat kedua bilangan = B, maka :

B = x² + y²   … (**)
Substitusikan persamaan (*) ke (**), sehingga diperoleh :

syarat ekstrim untuk B adalah ,

sehingga :    4x – 20 = 0
               →         4x = 20
               →           x = 5
substitusikan x = 5 ke (*) sehingga diperoleh : y = 10 – 5 = 5.

Jadi, kedua bilangan tersebut agar jumlah kuadratnya minimum adalah 5 dan 5.

Contoh:

Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Tinggi h meter setelah t detik dirumuskan dengan h(t) = 120t – 5t², tentukanlah tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut …

Alternatif Penyelesaian:

Tinggi peluru :     
         

peluru mencapai tinggi maksimum jika h ¢(t) = 0, sehingga :
                 

Substitusikan t = 10 detik ke (*), sehingga diperoleh tinggi maksimum peluru :  

h(10) = 120(10) – 5(10)² = 1200 – 500 = 700 meter.

Contoh:

Sebuah kotak tanpa tutup akan dibuat dari bahan seng dengan kapasitas 36 dm³. Jika ukuran panjang kotak dua kali lebarnya, tentukanlah ukuran kotak agar bahan yang dibutuhkan seminimum mungkin …

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan panjang = p, lebar = l, dan tinggi = t.
Panjang kotak dua kali lebarnya, berarti p = 2l   … (*)
Volume kotak = 36 dm³.

     

Bahan kotak akan diminimumkan, berarti yang diminimumkan adalah luas permukaan kotak tanpa tutup, disimbol dengan A.
A = luas alas + 2 luas sisi samping + 2 luas sisi depan/belakang
A = p.l + 2 l.t + 2 p. t     … (***)
Substitusikan (*) dan (**) ke persamaan (***), sehingga diperoleh :

     

Luas permukaan kotak minimum jika , sehingga :

substitusikan l = 3 dm ke (*) dan (**), diperoleh : p = 2(3) = 6m dan .

Jadi, ukuran kotak agar bahan yang digunakan minimum adalah p = 6 dm, l = 3 dm, dan t = 2 dm.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Maksimum dan Minimum pada Masalah Kontekstual. Please share...!