A. Tujuan Pembelajaran
Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan Kalian dapat menjelaskan aturan perkalian dan penjumlahan, menganalisis aturan perkalian dan penjumlahan melalui masalah kontekstual, serta mampu menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan aturan perkalian dan penjumlahan.
B. Uraian
Materi
1. Aturan
Perkalian
Sebelum kita
membahas prinsip dasar aturan perkalian, perhatikan dua masalah berikut!
Masalah
1.1. Melambungkan Sekeping Uang Logam dan Sebuah Dadu
Di SMP,
kalian telah mempelajari tentang ruang sampel. Banyak anggota ruang sampel dari
sekeping mata uang logam ada 2, yaitu Angka dan Gambar atau bisa ditulis dengan
S1 = {A, G}. Banyak anggota ruang sampel dari sebuah dadu ada
6, yaitu mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 atau bisa ditulis dengan S2
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
a. Ambillah
sekeping mata uang logam dan sebuah dadu, kemudian lambungkan keduanya
bersama-sama.
b. Catatlah
hasil-hasil yang mungkin berupa pasangan berurutan. Misalnya, jika setelah
melambungkan uang logam dan dadu tersebut diperoleh sisi gambar pada uang dan
angka 1 pada dadu, maka ditulis dalam pasangan berurutan (A, 1).
c. Dapatkah
kalian menentukan semua hasil yang mungkin berupa pasangan berurutan dari
percobaan di atas?
Nah, untuk
menjawab pertanyaan ini, kita membuat tabel untuk mencatat semua hasil yang
mungkin dari percobaan seperti berikut ini.
Kalau kita
mendaftarnya, kita bisa menuliskan semua hasil yang mungkin sebagai anggota himpunan
ruang sampel S berikut ini.
S = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4),
(A, 5), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6)}
Banyak
anggota dari ruang sampel S atau ditulis n(S) = 12.
Berarti banyak hasil yang mungkin dari pelambungan sekeping mata uang logam dan
sebuah dadu adalah 12.
Coba kita
mencari hubungan antara n(S) = 12 dengan banyaknya hasil yang
mungkin untuk objek mata uang logam yakni n(S1) = 2
dan banyaknya hasil yang mungkin untuk objek dadu yakni n(S2)
= 6.
Kalau kita
amati secara seksama ternyata n(S) = 12 = 2 ×
6 = n(S1) × n(S2).
Atau n(S)
merupakan hasil perkalian antara banyak cara munculnya hasil yang mungkin pada
sekeping mata uang logam dengan banyak cara munculnya hasil yang mungkin pada
sebuah dadu.
Masalah
1.2
Faisal
memiliki 4 baju yang berbeda warna, yaitu coklat motif kotak, hijau, biru, dan
abu-abu. Dia juga mempunyai 3 celana panjang yang warnanya berbeda, yaitu
coklat, biru dan hitam seperti pada gambar di bawah ini.
Dapatkah
kalian menolong Faisal untuk menentukan banyaknya stelan baju dan celana
berbeda yang dapat digunakan Faisal?
Nah, untuk
menjawab pertanyaan ini, kalian bisa memulai dengan mendaftar anggota ruang
sampel dari himpunan baju dan celana Faisal seperti berikut ini.
⦁ Ruang
sampel baju Faisal adalah B = {coklat kotak, hijau, biru, abu-abu} atau ditulis
lebih sederhana B = {ck, hj, b, a}.
⦁ Ruang
sampel celana Faisal adalah C = {coklat, biru, hitam} atau C = {ck, h}
Selanjutnya,
kalian dapat membuat tabel untuk mencatat semua stelan baju dan celana berbeda
seperti berikut ini.
Dari tabel
di atas diperoleh banyaknya stelan baju dan celana berbeda yang dapat digunakan
Faisal ada 12.
Jika
dihubungkan dengan banyak baju dan celana berbeda yang dimiliki Faisal, maka
kita bisa menuliskan 12 = 4 × 3 = n(B) × n(C).
Atau banyak
stelan baju dan celana berbeda yang dapat digunakan Faisal merupakan hasil
perkalian antara banyak baju berbeda dengan banyak celana berbeda yang dimiliki
Faisal.
Dua masalah
di atas memberikan gambaran mengenai cara mencacah yang disebut aturan
perkalian.
Secara
khusus aturan perkalian berbunyi sebagai berikut.
“Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam m
cara dan setiap kejadian pertama diikuti oleh kejadian kedua yang terjadi
dalam n cara, maka kejadian pertama dan kejadian kedua tersebut secara
bersama-sama terjadi dalam (m × n) cara.”
Contoh
Diagram di
bawah ini menunjukkan alur atau pilihan jalan untuk bepergian dari kota A ke
kota C melalui kota B.
Amir berada
di kota A dan berencana bepergian ke kota C melalui kota B. Berapa banyak jalan
berbeda yang dapat dilalui oleh Amir.
Jawab:
Dari kota A
ke B ada 5 jalan berbeda, yaitu jalan p, q, r, s,
dan t.
Dari kota B
ke C ada 3 jalan berbeda, yaitu jalan k, m, dan n.
Berdasarkan
aturan perkalian, dari kota A ke C melalui kota B ada 5 × 3 = 15 jalan berbeda.
Jadi, banyak
jalan yang dapat dilalui Amir dari kota A menuju kota C melalui kota B adalah
15 jalan berbeda.
Contoh
Pada suatu
kelas akan dibentuk sebuah kepengurusan yang terdiri dari satu ketua kelas dan
satu sekretaris. Ada berapa kepengurusan yang mungkin terbentuk jika ada 5
calon ketua kelas dan 6 calon sekretaris?
Jawab:
Perhitungan
banyak kepengurusan kelas sebagai berikut:
Pemilihan
ketua kelas = 5 kemungkinan
Pemilihan
sekretaris = 6 kemungkinan
Sehingga
kepengurusan yang mungkin terbentuk sebanyak 5 × 6 = 30 kemungkinan.
Untuk
beberapa kejadian, aturan perkalian dapat diperluas sebagai berikut.
“Jika ada k kejadian (pilihan) dengan
setiap kejadian (pilihan) memiliki hasil n1, n2,
n3, …, nk yang berbeda, maka banyak hasil berbeda yang
mungkin dari k kejadian (pilihan) tersebut secara berurutan diberikan
oleh hasil kali : n1 × n2 × n3
× …× nk”.
Contoh
Dalam ruang
tunggu suatu apotik terdapat 4 kursi. Ahmad, Umar, Ali dan Said sedang berada
di ruang tunggu apotik tersebut. Berapa banyak cara yang berbeda keempat anak itu menduduki kursi tersebut?
Jawab:
Misalkan, 4 kotak berikut menampilkan kursi dalam ruang tunggu.
⦁ Kotak
(kursi) pertama dapat diisi dengan 4 pilihan (cara), yaitu oleh siapa
saja dari keempat anak.
⦁ Kotak
kedua dapat diisi dengan 3 pilihan (cara), yaitu oleh siapa saja dari
ketiga anak yang tersisa.
⦁ Kotak
ketiga dapat diisi dengan 2 pilihan (cara), yaitu oleh siapa saja dari
kedua anak yang tersisa.
⦁ Kotak
keempat dapat diisi dengan 1 pilihan (cara), yaitu oleh anak terakhir
yang tersisa.
Dengan
demikian banyaknya pilihan (cara) menyusun posisi duduk sebagai berikut.
Dengan
menggunakan aturan perkalian, maka banyaknya cara yang berbeda keempat anak
menduduki kursi tersebut adalah : 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cara.
Sumber
Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 1: Aturan Perkalian Dan Penjumlahan. Please share...!
